Question

В прямоугольном треугольнике острый угол равен 45°, а гипотенуза равна с.Определи высоту, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу.​

Answer 1

1 способ. пусть один катет х, тогда и другой х, т.к. треугольник не только прямоугольный. но еще и равнобедренный. т.к. сумма острых углов равна 90° в нем.

тогда с=√(х²+х²)=х√2, ⇒х=с/√2=с√2/2;

и с одной стороны, площадь этого треугольника равна х²/2=(с²*2/4)/2=

с²/4, а с другой половине произведения гипотенузы на искомую высоту h. т.е. ch/2

ch/2=с²/4⇒h=c/2.

НО ЕСТЬ БОЛЕЕ КОРОТКИЙ ПУТЬ РЕШЕНИЯ.

2 способ.

Как известно, в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, /которым и является гипотенуза / является и медианой. Но если из прямого угла прямоугольного треугольника провести медиану к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы.

ОТВЕТ с/2

Answer 2

Пусть катеты треугольника равны a и b, а высота, опущенная на гипотенузу, равна h.

Так как угол между гипотенузой и высотой является прямым, то получаем два подобных треугольника: большой остроугольный треугольник и маленький прямоугольный.

Из большого треугольника можно вывести, что:

c / h = h / a

Так как угол между гипотенузой и высотой равен 45°, то a = b. Поэтому:

c / h = h / b

Откуда:

h^2 = bc / 2

Таким образом, высота, опущенная на гипотенузу, равна:

h = sqrt(bc / 2)