Question

Треугольник MNK вписан в окружность с центром О. MN =NK =4 Угол MNK =120 градусов . Найти радиус ОК (NK не диаметр )

Answer 1

Если угол между хордами 120 градусов, и при этом хорды равны друг другу,то эти хорды - стороны правильного 6-угольника, вписанного в эту окружность.
Сторона 6-угольника, вписанного в окружность, равна радиусу.
R=OK=MN=NK=4.

Answer 2

Из угла, заключенного между хордой MK и дугой MNK, следует, что он равен половине угла в центре, под которым опирается та же дуга. Угол в центре, соответствующий углу MNK, равен 240 градусов. Таким образом, угол MKO равен 120 градусов.

Так как треугольник MNK равносторонний, то KM = 4. Пусть радиус окружности равен R, тогда KD = R - OK. Рассмотрим правильный шестиугольник со стороной 2R, который содержит окружность с центром в точке O. В равностороннем треугольнике со стороной 2R длина медианы равна √3/2 * 2R = √3 * R. Таким образом, KD = √3 * R - OK = R - OK.

Из уравнения KD = 4 следует:

R - OK = 4 / √3

OK = R - 4 / √3

Также из уравнения теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника OKN следует:

OK² + NK² = (2R)²

OK² + 4² = 4R²

OK² = 4R² - 16

OK = √(4R² - 16)

Таким образом, мы получили два уравнения для OK. Приравнивая их друг к другу, получаем:

R - 4 / √3 = √(4R² - 16)

Переносим R на одну сторону уравнения и квадратируем:

16 / 3 - 8R / √3 + R² = 4R² - 16

7R² - 8R√3 + 48 = 0

Находим корни квадратного уравнения:

R₁ = (8√3 - 6) / 7

R₂ = (8√3 + 6) / 7

Из этих двух значений нам нужен только R₁, так как R₂ соответствует случаю, когда NK - диаметр окружности. Таким образом, радиус ОК равен:

OK = R - 4 / √3 = (8√3 - 6) / 7 - (4 / √3) = (2√3 - 3) / 7 ≈ 0.28.