Question

Перпендикуляры опущенные из двух вершин прямоугольника на его диагональ делят ее на три равные части. Меньшая сторона прямоугольника равна а. Найдите длину большей стороны.

Answer 1

Обозначим каждую часть диагонали х
Вся диагональ 3х
Имеем равнобедренный треугольник у которого основание  равно 2х. Боковые стороны а. высота такого треугольника равна √а²-х²
Площадь треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами прямоугольника равна
1/2 ·3х ·√а²-х²

С драгой стороны вторая сторона прямоугольника по теореме Пифагора
равна√(3х)²-а²
Площадь треугольника образованного диагональю и двум сторонами равна половине произведения сторон

1/2 · а ·√9х²-а²

ПРиравняем и решим уравнение
9х^4=a^4
3x²=a²
x=a√3/3
диагональ равна а·√3
вторая сторона по теореме ПИфагора а√2

Answer 2

Пусть $ABCD$ — наш прямоугольник с меньшей стороной $AB=a$, $AC$ — диагональ, $E$ и $F$ — основания перпендикуляров из вершин $A$ и $B$, correspondingly:

[asy]
pair A, B, C, D, E, F;
A = (-2, 1);
B = (2, -1);
C = (2, 1);
D = (-2, -1);
E = foot(A,C,D);
F = foot(B,C,D);
draw(A--B--C--D--cycle);
draw(A--E);
draw(B--F);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SE);
label("$C$", C, NE);
label("$D$", D, SW);
label("$E$", E, S);
label("$F$", F, S);
label("$a$", (A + B)/2, N);
[/asy]

Так как $AD\parallel BE\parallel CF$, то треугольники $AEB$ и $BFC$ подобны, поэтому:

$$\frac{AE}{EB}=\frac{BF}{FC},\quad \frac{AB}{BC}=\frac{AE+BF}{FC}.$$

Выразим $AE$ и $BF$ через $AB$ и $BC$ в первом равенстве и подставим во второе:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AB^2}{AC\cdot BC}+\frac{AB^2}{AC\cdot BC},$$

откуда

$$\frac{3}{2}=\frac{AB^2}{AC\cdot BC}\quad\Rightarrow\quad AB^2=\frac{3}{2}AC\cdot BC.$$

Так как $AB=a$, а $BC=\sqrt{a^2+AC^2}$, то

$$a^2=\frac{3}{2}AC\cdot\sqrt{a^2+AC^2}.$$

Это уравнение относительно $AC^2$; его можно решить, например, методом подстановки. После несложных вычислений получаем, что

$$AC^2=\frac{2a^2}{3}\quad\Rightarrow\quad BC^2=\frac{5a^2}{3}\quad\Rightarrow\quad BC=\frac{a\sqrt{15}}{3}.$$