Question

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 56. Точка E— се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AECB.

Answer 1

АВСД-параллелограмм , диагональАС делит параллелограмм на 2 равных треугольника, треугольник АВС=треугольник АСД по трем сторонам (АВ=СД, ВС=АД, АС-общая, площадьАВС=площадьАСД=1/2площадь АВСД=56/2=28

треугольник АСД, АЕ-медиана , СЕ=ЕД, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадьАСЕ=площадьАЕД=1/2площадьАСД=28/2=14, площадь трапеции АЕСВ=площадь параллелограмма АВСД-площадьАЕД=56-14=42

Answer 2

Из условия следует, что высота па­рал­ле­ло­грам­ма, проведенная к стороне AB, равна высоте, проведенной к стороне CD, а также что сторона CD равна удвоенному отрезку AE. Обозначим высоту па­рал­ле­ло­грам­ма через h и длину стороны AB через a. Тогда имеем:

$S_{ABCD} = ah = 56$

$CD = 2AE$

$S_{AECB} = \frac{1}{2}h(EC+AB) = \frac{1}{2}h(CD+AB)$

Заменим CD и AB в последнем выражении с помощью первых двух уравнений:

$S_{AECB} = \frac{1}{2}h(2AE+a) = h\cdot AE + \frac{1}{2}ha$

Заметим, что первое слагаемое равно площади треугольника AEC, а второе – площади треугольника ABC. Таким образом, пло­щадь тра­пе­ции AECB равна сумме площадей треугольников AEC и ABC:

$S_{AECB} = S_{AEC} + S_{ABC} = \frac{1}{2}AE\cdot EC + \frac{1}{2}AB\cdot h$

Подставляя известные значения, получаем:

$S_{AECB} = 14\cdot AE + 28$

Ответ: $S_{AECB} = 42$ (если известна длина AE, можно подставить ее значение в последнее выражение и получить точный ответ).