Question

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равна 5 см. Найдите площадь четырехугольника.Помогите плз. только по подробней. Заранее спасибо)

Answer 1

т.к. в четырёхугольник вписана окружность, то S=p·r  p-полупериметр, r-радиус вписанной окружности
т.к. около четырёхугольника описана окружность, то суммы его противоположных сторон равны  AB+CD=AD+BC=12
периметр P=AB+BC+CD+AD=12+12=24 см
р=24/2 12 см
S=12·5=60 см²

Answer 2

Рисуем четырехугольник:

A-----B
| |
D-----C

Предположим, что сторона AB является диаметром вписанной окружности. Тогда AC и BD являются ее касательными. Из этого можно сделать следующие выводы:

1. $\angle BAD = \angle BCD$ (как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу)
2. $BC = AD$ (как отрезки, касающиеся окружности из одной точки)
3. $AC + BD = 2AB = 2r$, где r - радиус вписанной окружности

Из первого следует, что углы BAD и BCD смежные и их сумма равна 180°. Тогда CD = AB - BC = AB - AD. Из второго следует, что CD = AC - AD. Сравнивая эти два выражения, получаем:

$AB - AD = AC - AD$

$AB = AC$

Таким образом, AB и AC равны и составляют диаметр вписанной окружности. Значит, $\angle ABC = 90°$. По теореме Пифагора:

$BC^2 + AB^2 = AC^2$

$AD^2 + AB^2 = AC^2$

Так как AB и AC равны, уравнения могут быть объединены:

$BC^2 + AD^2 = AC^2$

$BC^2 + AD^2 = 4r^2$

$BC^2 + AB^2 - 2AB\cdot AD + AD^2 = 4r^2$

$BC^2 + AB^2 - 2AB(AB - BC) + (AB - BC)^2 = 4r^2$

$2AB^2 + 2BC^2 = 4r^2$

$AB^2 + BC^2 = 2r^2$

Теперь вернемся к условию задачи. Сумма двух противоположных сторон равна 12, значит, AB + CD = 12. Но мы уже знаем, что AB - CD = 2BC = 2√(2r^2 - AB^2). Отсюда получаем систему уравнений:

AB + CD = 12
AB - CD = 2√(2r^2 - AB^2)

Решаем ее относительно AB:

AB = (12 + 2√(2r^2 - AB^2))/2

AB^2 = 36 + 12√(2r^2 - AB^2)

AB^4 - 72AB^2 + 144 = 48r^2 - 48AB^2

AB^4 + 46AB^2 - 48r^2 + 144 = 0

Данное уравнение решается численными методами. Найденное значение AB подставляется в уравнение AB + CD = 12, чтобы найти CD. Затем находятся площади треугольников ABC и ABD, их сумма и будет площадью четырехугольника.