Question

Діагональ AC чотирикутника ABCD є діаметром його описаного кола, кут BAC = 46 градусів, а кут між діагоналями чотирикутника, який лежить проти сторони AB, дорівнює 57 градусів. Знайдіть кут BAD.

Answer 1

АС -диаметр описанной окружности, поэтому <АВС = 90°. <АВD=180°- 46°- 57°= 77°. Тогда <DВС = 90°-77°=1З°. Вписанный угол DАС опирается на ту же дугу, что и вписанный DВС, значит <DАС=<DВС=1З°, а <ВАD=<ВАС<DAC=46°*1З° = 59° Ответ: <ВАD = 59°
Ответ в приложенном рисунке.

Answer 2

Спочатку знайдемо кут ACD, оскільки він є півколом на діаметрі AC описаного кола. Оскільки кут BAC дорівнює 46 градусів, то кут ACD дорівнює 90 градусів (як сума кутів у прямокутному трикутнику).

Далі звернемо увагу на трикутник ABD, в якому маємо кут BAD, кут ABD і кут BDA. За теоремою про суму кутів в трикутнику, сума цих кутів дорівнює 180 градусів. Ми шукаємо кут BAD, тому зосередимося на ньому.

За теоремою косинусів, у трикутнику ABD маємо:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$

Оскільки AC є діаметром описаного кола, то AD і CD є радіусами цього кола. Тому, за властивістю описаного кола, маємо:

$AB \cdot CD = BC \cdot AD$

Але $CD = AC = 2 \cdot AD$, тому:

$AB \cdot 2AD = BC \cdot AD$

$AB = \frac{BC}{2}$

Тепер можемо використати закон синусів у трикутнику ABD:

$\frac{\sin(\angle BAD)}{BD} = \frac{\sin(\angle ABD)}{AB}$

$\sin(\angle BAD) = \frac{BD \cdot \sin(\angle ABD)}{AB}$

$\sin(\angle BAD) = \frac{BD \cdot \sin(180^\circ - \angle BDA)}{AB}$

$\sin(\angle BAD) = \frac{BD \cdot \sin(\angle BDA)}{AB}$

$\sin(\angle BAD) = \frac{BD \cdot \frac{AB}{BD}}{AB}$

$\sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB}$

Зі співвідношення $AB = \frac{BC}{2}$ маємо:

$\sin(\angle BAD) = \frac{BD}{\frac{BC}{2}} = \frac{2BD}{BC}$

Також за теоремою косинусів у трикутнику ABC маємо:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Оскільки AC є діаметром описаного кола, то $AC = 2R$, де R - радіус описаного кола. Також ми вже знаємо, що $AB = \