Question

В треугольнике АВС угол С прямой, а угол А=30 градусов. Через точку С проведена прямая СМ, перпендикулярная плоскости треугольника, АС=18 см, СМ=12см. Найтите расстояние от точки М до прямой АВ и расстояние от точки В до плоскости АСМ.

Answer 1

В треугольнике АВС угол С прямой,

∆АВС -прямоугольный

расстояние от точки В до плоскости АСМ. - это катет  ВС = АС*tg30 =18*tg30 =6√3 см

гипотенуза ∆АВС  AB =√ (AC^2+BC^2)=√ (18^2+(6√3)^2)=12√3 см

высота из вершины С на сторону АВ   h =AC*BC / AB =18*6√3 /12√3 = 9 см

расстояние от точки М до прямой АВ  H = √ (h^2+CM^2) = √ (9^2 +12^2) = 15 см

 

Answer 2

Для решения задачи можно использовать теорему косинусов и свойства перпендикуляров.

По свойству перпендикуляров прямая СМ перпендикулярна плоскости треугольника АВС, следовательно, угол МСА прямой.

Также из угла АСМ прямоугольного треугольника АСМ следует, что угол СМА = 60 градусов.

Теперь можно применить теорему косинусов для нахождения расстояния от точки М до прямой АВ: cos(60) = AM / CM AM = CM * cos(60) = 12 * 0.5 = 6 см

Таким образом, расстояние от точки М до прямой АВ равно 6 см.

Чтобы найти расстояние от точки В до плоскости АСМ, можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости: d = |AX * n| / |n|, где АХ - проекция точки В на плоскость АСМ, а n - нормаль к плоскости АСМ.

Проекция точки В на плоскость АСМ будет являться основанием перпендикуляра, опущенного из точки В на плоскость АСМ. Обозначим эту точку через О.

Так как треугольник АСО прямоугольный, то АО = АС * cos(30) = 18 * 0.866 = 15.48 см, а ОВ = СМ = 12 см.

Найдем теперь нормаль к плоскости АСМ. Так как треугольник АСМ прямоугольный, то нормалью к этой плоскости будет являться векторное произведение векторов АС и СМ, нормализованное к единичной длине:

n = (АС x СМ) / |АС x СМ|,

где x - векторное произведение, а | | - длина вектора.

АС x СМ = |АС| * |СМ| * sin(90) * n,

где n - вектор, перпендикулярный плоскости АСМ и направленный от треугольника АСМ к точке М.

sin(90) = 1, поэтому

АС x СМ = |АС| * |СМ| * n.

Вычисляем:

|АС| = 18 см, |СМ| = 12 см, |АС x СМ| = |18, 12, 0| = 18 * 12 = 216,

n = (АС x СМ) / |АС x СМ| = (