Question

С рисунком Основанием пирамиды MABCD является квадрат АВСD со стороной 4. Боковое ребро BМ перпендикулярно плоскости основания пирамиды, BМ=9. а) Найдите расстояние от точки М до прямой АС. б) Вычислите площадь треугольника АСМ.

Answer 1

А). найдем диагонали квадрата АВСД по теореме Пифагора: АС=ВД=4√2
Т.к. ВМ перпендикулярна плоскости квадрата, то тр-к МВК - прямоугольный, МК найдем по теореме Пифагора. ВК=½*ВД=2√2
MK^2=MB^2+BK^2=81+8=89
MK=√89

б). площадь тр-ка АСМ равна половине произведения стороны треугольника на проведенную к ней высоту
S(ACM)=½AC*MK=½*4√2*√89=2√178

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами пирамиды и геометрическими соображениями.

а) Расстояние от точки M до прямой AC равно расстоянию от точки M до плоскости АВС. Для нахождения этого расстояния воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{r}|}{|\vec{n}|}$,

где $\vec{n}$ - нормальный вектор плоскости, $\vec{r}$ - вектор, направленный от точки M до любой точки плоскости.

Нормальный вектор плоскости АВС равен $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD}$. Найдем его:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}4\0\0\end{pmatrix}$, $\vec{AD} = \begin{pmatrix}0\0\4\end{pmatrix}$, $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix}0\-16\0\end{pmatrix}$.

Теперь найдем вектор $\vec{r}$, направленный от точки M до любой точки плоскости. Рассмотрим проекцию вектора $\vec{BM}$ на плоскость АВС. Эта проекция будет перпендикулярна вектору $\vec{n}$ и лежать в плоскости АВС. Найдем ее:

$\vec{BM_{\perp}} = \frac{\vec{BM}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{n} = \frac{9\cdot0}{256}\begin{pmatrix}0\-16\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\0\0\end{pmatrix}$.

Таким образом, точка M лежит в плоскости АВС, и расстояние от нее до этой плоскости равно нулю.

Ответ: расстояние от точки M до прямой АС равно расстоянию от точки M до плоскости АВС, которое равно нулю.

б) Площадь треугольника АСМ можно найти по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

где a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр (полусумма длин сторон).

Найдем длины сторон треугольника АСМ. Сторона АС равна стороне квадрата АВС и равна 4. Сторона АМ равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВМ, где