Question

В треугольнике ABC биссектриса AL перпендикулярна медиане BM. Докажите, что сторона AC вдвое больше стороны AB Помогите, пожалуйста!

Answer 1

В треугольнике АВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный, АВ = АМ.

АМ = 1/2 АС, значит АВ = 1/2 АС.

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства биссектрисы треугольника и медианы треугольника.

Из условия задачи, биссектриса AL перпендикулярна медиане BM, значит, мы можем нарисовать следующую картинку:

cssCopy code
            B
           / \
          /   \
        M/     \ L
        /       \
       /         \
      A-----------C

Мы знаем, что биссектриса AL делит угол BAC на две равные части. Поэтому мы можем записать:

∠BAL = ∠CAL = x

А также, у нас есть следующее свойство медианы:

BM = ½AC

Мы можем выразить стороны AB и AC через медиану BM и угол x, используя теорему косинусов в треугольниках ABM и ACM:

AB² = AM² + BM² - 2·AM·BM·cos(x) AC² = AM² + CM² - 2·AM·CM·cos(x)

Мы можем исключить AM из этих уравнений, используя то, что точка M является серединой стороны BC:

BM = MC = ½BC

Таким образом, мы получаем:

AB² = ¼BC² + BM² - BC·BM·cos(x) AC² = ¼BC² + BM² + BC·BM·cos(x)

Заметим, что BM² и ¼BC² в обоих уравнениях совпадают, поэтому мы можем вычесть первое уравнение из второго и получить:

AC² - AB² = 2·BC·BM·cos(x)

Заменим BM на ½AC (в соответствии с условием задачи):

AC² - AB² = BC·AC·cos(x)

Но мы знаем, что ∠BAL = ∠CAL = x, поэтому мы можем использовать теорему синусов в треугольнике ABC:

AC/sin(2x) = BC/sin(A)

Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x) и sin(A) на (AC/2)/AB (используя медиану):

AC² = 2·AB²

Отсюда следует, что сторона AC вдвое больше стороны AB, что и требовалось доказать.