Question

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если BK=15 CK=7

Answer 1

Привет!

∠BKA и ∠KAD равны (накрест лежащие углы при AB║BC) => ∠BAK и ∠BKA равны. Следовательно, Δ ABK — равнобедренный, откуда AB = BK = 15,

P = 2(BC + AB) = 2(7 + 15 + 7) = 58 см

Ответ: 58 см

Answer 2

Для начала заметим, что биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит угол А на два равных угла, и, следовательно, угол BAK равен углу CAK.

Обозначим длину биссектрисы угла А через $BD$, а длины сторон параллелограмма через $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$.

Так как $BD$ является биссектрисой угла А, то $AK = DK = \frac{2ab}{a+b}$. Также, по условию задачи, $BK = 15$ и $CK = 7$. Из этих трех равенств можно выразить длины отрезков $BD$, $BC$ и $CD$:

$BD = BK + DK = 15 + \frac{2ab}{a+b}$

$BC = BK + CK = 15 + 7 = 22$

$CD = CK + DK = 7 + \frac{2ab}{a+b}$

Теперь можем найти периметр параллелограмма:

$P = 2(a+b) = 2(AB+BC) = 2(a+b+BC)$

Заметим, что $a+b$ можно выразить через $BD$:

$a+b = \frac{2ab}{BD}$

Тогда

$P = 2\left(\frac{2ab}{BD} + 22\right) = \frac{4ab}{BD} + 44$

Осталось выразить $BD$ через $a$ и $b$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике $ABD$:

$(BD)^2 = (AK)^2 + (DK)^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos \angle A$

$\cos \angle A = \frac{b}{a+b}$ (так как $\angle A$ равен углу BAK или углу CAK)

$(BD)^2 = \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 + \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2a^2b^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}$

$BD = \frac{2ab}{a+b}$

Итак, мы получили:

$P = \frac{4ab}{BD} + 44 = \frac{4ab(a+b)}{2ab} + 44 = 2(a+b) + 44 = 2AB + 2BC + 44 = 2AD + 44$

Ответ: $P = 2AD + 44$.