Question

В прямоугольном треугольнике АВС (угол В-прямой) на гипотенузе взяли точку D так, что BD=DC. Докажите, что BD=DA.

Answer 1

Обозначим угол DBA = a

Т.к. BD=DA, то треугольник BDA равнобедренный и угол DAB = DBA = a.

Т.к. сумма углов треугольника ABD равна 180, то угол BDA = 180 - a - a = 180 - 2a

Т.к. углы BDA и BDC - смежные, то BDC = 180 - BDA = 2a

Т.к. ABC - прямой угол, то DBC = 90 - ABD = 90 - a

Т.к. сумма углов треугольника BDC равна 180, то угол BCD = 180 - CBD - BDC = 180 - (90 - a) - 2a = 90 -a

Т.к. углы CBD и BCD равны, то треугольник BCD равносторонний и стороны BD и CD равны.

Answer 2

Диаметр окружности описанной вокруг прямоугольного треугольника равен его гипотенузе. ВС=CD ⇒точки В и С равноудалены  - радиусы описанной окружности. ⇒ AD радиус той-же окружности и BD=DA.

Answer 3

Пусть точка D разбивает гипотенузу AB на отрезки BD и DC, такие что BD=DC.

Так как треугольник АВС - прямоугольный, то применим теорему Пифагора:

AB²=AV²+VB²,

где AV и VB - катеты.

Так как AD и DC являются отрезками гипотенузы AB, то:

AV=AD и VB=DC.

Заменим AV и VB на AD и DC:

AB²=AD²+DC²

Так как BD=DC, то:

AB²=AD²+BD²

Таким образом, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABD, получим:

AB²=AD²+BD²

Сравнивая это выражение с AB²=AD²+DC², видим, что BD²=DC², и следовательно, BD=DC.

Так как BD=DC и AD+DC=AB, то AD=AB-DC=AB-BD.

Таким образом, BD=DC=AD, что и требовалось доказать.