Question

В параллелограмме ABCD точка M-середина стороны AB. Известно,что MC=MD. Докажите,что данный параллелограмм-прямоугольник.

Answer 1

треугAMD=треугBMC, по третьему признаку равенства треугольников(АМ=ВМ ,МС=МD по условию,ВС=АD,как противоположные стороны параллелограмма).С равенства т-ов

следует равенство углов:<А=<В,как углы лежащие против равных сторон.<А+<В=180градусов, (как сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма),откуда <А=<В=90градусов,а значит параллелограм АВСД прямоугольник ,что и требовалось доказать.

Answer 2

Поскольку M - середина стороны AB, то AM = MB. Из условия MC = MD следует, что точка M лежит на биссектрисе угла C и D параллелограмма ABCD. Поскольку угол C и угол D имеют общую биссектрису, то эти углы равны между собой (по свойству биссектрисы угла). Таким образом, мы получаем, что угол C равен углу D.

Далее, по свойству параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны. Значит, AB || CD и BC || AD.

Рассмотрим треугольник MCD. Мы знаем, что MC = MD и угол C равен углу D. Поэтому этот треугольник равнобедренный. Значит, угол MCD равен углу MDC.

Теперь рассмотрим треугольник AMD. Мы знаем, что AM = MB и AB || CD. Поэтому этот треугольник равнобедренный. Значит, угол AMD равен углу MAD.

Таким образом, мы получаем, что угол MCD равен углу MDC, а угол AMD равен углу MAD. Поэтому углы MCD и AMD являются смежными и их сумма равна 180 градусов:

∠MCD + ∠AMD = 180°

Заметим, что ∠MCD и ∠AMD являются внутренними углами параллелограмма. Значит, они дополняются до 180 градусов соответствующими внешними углами:

∠DCB + ∠BAM = 180°

Но ∠DCB и ∠BAM также являются смежными углами, поэтому их сумма равна углу ABC:

∠ABC = ∠DCB + ∠BAM

Таким образом, мы получаем:

∠ABC = ∠MCD + ∠AMD = 180°

Это означает, что угол ABC равен 180 градусов, то есть ABCD - прямоугольник.