Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол B равен 60∘. Найдите отношение AH:HB, где CH — высота треугольника.​

Answer 1

Ответ:

3/1

Объяснение:

В прямоуг. треугольнике АСВ пусть СВ=х, это катет, лежащий против угла А в 30°, т.к. ∠В=60°,тогда АВ=2х.

В прямоуг. треугольнике СНВ ∠НСВ=30°, поэтому НВ=СВ/2=х/2.

Значит, АН=2х-х/2=3х/2

Отношение АН/НВ=(3х/2)/(х/2)=3/1

В прямоуг. треугольнике

Answer 2

Для решения задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов и свойствами высот треугольника. Обозначим стороны треугольника ABC как a, b и c, где c - гипотенуза, а h - высота, опущенная на сторону c из вершины C.

Так как угол B равен 60 градусов, то угол A равен 30 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Таким образом, мы знаем, что:

sin A = sin 30° = 1/2 sin B = sin 60° = √3/2 sin C = sin 90° = 1

Применим теорему синусов для нахождения высоты h:

h = c * sin B = b * sin C = b

Теперь мы можем найти отношение AH:HB, где H - точка пересечения высот треугольника:

AH/HB = (Sᵢₙ AHC)/(Sᵢₙ BHC)

Заметим, что треугольники AHC и BHC имеют одинаковую высоту h, а значит, их площади пропорциональны соответствующим сторонам:

Sᵢₙ AHC / Sᵢₙ BHC = AC/BC

Из теоремы Пифагора для треугольника ABC мы можем выразить сторону b через сторону a:

b² = c² - a² b² = a² - (a/2)² b² = 3a²/4 b = a√3/2

Тогда AC = b sin A = (a√3/2) * 1/2 = a√3/4, а BC = b cos A = (a√3/2) * √3/2 = 3a/4. Таким образом, отношение AH:HB равно:

AH/HB = AC/BC = (a√3/4)/(3a/4) = √3/3

Ответ: AH:HB = √3/3.