Question

MN - середня лінія трикутника ABC. Точки A, M і N лежать у площині α (альфа). Доведіть ,що точки B і C лежать у площині α.

Answer 1

Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равен половине ее стороне, MN ║ BC ⇒ BC параллельна плоскости α, а так как точки A ∈ α, M ∈ α, N ∈ α. Значит прямая ВС принадлежит плоскости α, т.е. , точки B ∈ α и С ∈ α

Answer 2

Оскільки точка M є серединою сторони BC, то вектори AM і MC мають однакову довжину і протилежні напрямки. Тобто вектор AM дорівнює вектору MC, помноженому на -1.

За визначенням середньої лінії трикутника, точка N лежить на відрізку, який з'єднує середини сторін AB і AC. Отже, вектор AN дорівнює вектору NB, помноженому на 2. Аналогічно, вектор AN дорівнює вектору MC, помноженому на 1.

Отже, вектор NB дорівнює вектору MC, помноженому на 2, або ж вектору AM, помноженому на -1 і потім на 2. Тобто вектори NB і MC лінійно залежні, тобто лежать в одній площині.

Аналогічно можна показати, що вектори NC і MB також лінійно залежні і лежать в тій же площині, що і NB і MC. Отже, точки B і C лежать в площині α разом з точкою N, яка вже лежить у цій площині за визначенням середньої лінії.