Question

Площадь правильного треугольника ABC равна 32 см ^ 2. Точка N - середина отрезка AC, а точка M, L расположена так, что NM перпендикулярна BC, ML перпендикулярна AB, KN перпендикулярна NM. Найдите площадь четырехугольника KLMN

Answer 1

Для удобства расчётов примем 1/8 часть стороны треугольника за х.

Площадь четырехугольника KLMN легче определить вычитанием трёх треугольников из заданного.

Стороны треугольника АKN равны половине исходного, тогда S1 = (1/4) *32 = 8 см².

Используя свойства прямоугольных треугольников с углами 60 и 30 градусов, находим площади треугольников BLM и CNM.

S(BLM) = (1/2)*3x*3√3x = (9/2)√3x² см²,

S(CNM) = (1/2)*2x*2√3x = 2√3x² см².

Их сумма равна S2 + S3 =  (9/2)√3x² + 2√3x² = (13/2)√3x² см².

Сторону исходного треугольника определяем на основе формулы площади равностороннего треугольника.

S = a²√3/4.

a = √(4S/√3) = √(4*32/√3) = 8√(2/√3).

Так как х = а/8, то х² = а²/64 = 64(2/√3)/64 = (2/√3).

Находим площадь S2 + S3 =  (13/2)√3*(2/√3) = 13 см².

Ответ: S(KLMN) = 24 - 13 =11 см².

Answer 2

Для начала, найдем длину стороны треугольника ABC. Пусть a - длина стороны AB. Так как треугольник ABC правильный, то стороны BC и AC также равны a. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

S = (a^2 * sqrt(3))/4

Отсюда получаем:

a^2 = (4S)/sqrt(3) = (432)/sqrt(3) = 49.152

a = sqrt(49.152) = 7sqrt(3)

Таким образом, мы нашли длину стороны треугольника ABC. Далее, найдем длины отрезков KN, NM и ML. Пусть h - высота треугольника ABC, проведенная к стороне AB. Тогда:

h = (a * sqrt(3))/2 = (7sqrt(3) * sqrt(3))/2 = 21/2

Так как NM - медиана треугольника ABC, то она равна половине стороны AB:

NM = AB/2 = 7sqrt(3)/2

Также, по свойству медианы, точка N делит медиану NM в отношении 2:1, то есть:

MN = (2/3) * NM = (2/3) * (7sqrt(3)/2) = 7sqrt(3)/3

Теперь мы можем найти длину отрезка ML, так как угол AMB прямой:

ML = AM * sin(AMB) = h * (BC/AB) = (21/2) * (7sqrt(3)/7sqrt(3)) = 21/2

Осталось найти длину отрезка KN:

KN = NM * cos(MNK) = NM * sin(AMB) = (7sqrt(3)/2) * (1/2) = 7sqrt(3)/4

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника KLMN. Обозначим ее через S1. Так как треугольник KMN прямоугольный, то:

S1 = (1/2) * KN * MN = (1/2) * (7sqrt(3)/4) * (7sqrt(3)/3) = 49/24

Также, треугольник KML прямоугольный, и его площадь равна:

S2 = (1/2) * ML * KN = (1/2) * (21/2) * (7sqrt(3)/4) = 147sqrt(3)/16

Итак, площадь четырехугольника KLMN равна:

S = S1 + S2 = 49/24 + 147sqrt(3)/16 = (49sqrt(3) + 147)/24 = (7sqrt(3) + 21)/4 = 7(1 + sqrt(3))/4

Ответ: площадь четырех