Question

В окружности проведены диаметр KL,хорды LN и NK .Найдите площадь треугольника KLN,если LN=12,NK=8

Answer 1

В треугольнике KLN сторона КL является диаметром описанной окружности.

Вписанный ∠KNL опирается на диаметр окружности, следовательно он прямой, и ΔKNL прямоугольный.

LN=12, NK=8 (по условию)

$S=\frac{1}{2}KN*NL=\frac{1}{2}*8*12=48$

Ответ: площадь ΔKNL равна 48 кв. ед.

Answer 2

Поскольку LN и NK являются хордами, то они делят окружность на две дуги. Дуги, соответствующие этим хордам, образуют два угла в центре окружности, каждый из которых равен половине угла в центре, образованного диаметром KL. Таким образом, угол KLN равен углу KLN' (где N' - точка пересечения LN и KL), который, в свою очередь, равен углу KNL, так как они смотрят на одну дугу.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника KLN' с гипотенузой KL, получаем:

$KN'^2 + LN'^2 = KL^2$

Так как N' - точка пересечения LN и KL, то $LN' = \frac{LN}{2} = 6$ и $KN' = \frac{NK}{2} = 4$. Подставляя значения, получаем:

$KN^2 + LN^2 = KL^2$ $4^2 + 6^2 = KL^2$ $16 + 36 = KL^2$ $KL^2 = 52$

Таким образом, мы знаем, что длина диаметра KL равна $\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Теперь мы можем найти высоту треугольника KLN, опущенную на сторону KL. Эта высота проходит через центр окружности и равна радиусу окружности, который в данном случае равен половине длины диаметра, то есть $\sqrt{13}$.

Таким образом, площадь треугольника KLN равна:

$\frac{1}{2} \times KN \times LN = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 = 48$

Ответ: площадь треугольника KLN равна 48.