Question

В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и СС1. Докажите, что треугольники A1BC1 и АВС подобны.

Answer 1

Мне кажется не получится треугольник А1ВС1

Answer 2

Для начала, заметим что в треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым, поэтому $AB^2=AC^2+BC^2$ (это следует из теоремы Пифагора).

Пусть $H$ - это точка пересечения высот $AA_1$ и $CC_1$. Тогда по определению $AH\perp BC$ и $CH\perp AB$. Кроме того, по свойству ортогональных проекций, $AH$ и $CH$ являются высотами треугольника $ABC$.

Рассмотрим теперь треугольник $A_1BC_1$. По определению, $A_1H\perp BC$ и $C_1H\perp AB$. Заметим также, что $A_1H=AH$ и $C_1H=CH$, так как $H$ лежит на обеих высотах. Таким образом, треугольники $ABC$ и $A_1BC_1$ являются подобными прямоугольными треугольниками с общим прямым углом при вершине $B$.

Далее, заметим, что треугольник $ABC$ и $ABV$ также подобны, так как они имеют два угла, равные соответственно углу $B$ и прямому углу, равные между собой (углы $B$ и $V$ общие, а угол $A$ в треугольнике $ABC$ и угол $S$ в треугольнике $ABV$ - соответственные).

Таким образом, мы имеем две пары подобных треугольников: $ABC$ и $A_1BC_1$, а также $ABC$ и $ABV$. Следовательно, треугольники $A_1BC_1$ и $ABV$ также должны быть подобными.