Question

Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Answer 1

Катет, прилежащий к этому острому углу будет равен произведению гипотенузы на косинус этого угла. Т.е. эти катеты будут тоже равны, значит по 1 признаку треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треуг равны

Answer 2

Рассмотрим два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$.

Пусть первый треугольник имеет катеты $a_1$ и $b_1$, а второй треугольник имеет катеты $a_2$ и $b_2$.

Так как треугольники прямоугольные, то по теореме Пифагора для каждого из них выполняется соотношение:

$$a_1^2 + b_1^2 = c^2,$$

$$a_2^2 + b_2^2 = c^2.$$

Также из условия задачи следует, что угол $\alpha$ в обоих треугольниках является острым, то есть $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$. Это означает, что $\sin{\alpha}>0$ и $\cos{\alpha}>0$.

Рассмотрим отношение катетов первого и второго треугольников:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}.$$

Это можно переписать в виде:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{a_1}{c}}{\frac{a_2}{c}} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \cdot \frac{b_1}{b_2} = \tan{\alpha} \cdot \frac{b_1}{b_2}.$$

Аналогично, можно получить:

$$\frac{b_1}{b_2} = \tan{\alpha} \cdot \frac{a_1}{a_2}.$$

Таким образом, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} a_1^2 + b_1^2 = c^2,\\ a_2^2 + b_2^2 = c^2,\\ \frac{a_1}{a_2} = \tan{\alpha} \cdot \frac{b_1}{b_2},\\ \frac{b_1}{b_2} = \tan{\alpha} \cdot \frac{a_1}{a_2}. \end{cases}$$

Решая эту систему уравнений, можно получить:

$$a_1 = a_2, \quad b_1 = b_2.$$

Таким образом, мы доказали, что два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ равны по катетам.