Question

треугольник ABC прямоугольный равнобедренный (AB=AC=2) точки K,M,N лежат соответственно на стороне BC , AB, AC . При этом расстояние от точки K до прямыx MN , AC, AB равны. Найдите BM*CN

Answer 1

Так как  треугольник ABC прямоугольный равнобедренный, то точка точка К лежит на середине гипотенузы ВС, а расстояния от точки К до катетов АВ и АС равны 1.
Отрезок   MN перпендикулярен АК и параллелен ВС.
Пусть точка пересечения АК и MN - точка Е.
АЕ = АК-КЕ = √2 - 1.
Отрезки АМ и АN равны АЕ*√2 = (√2-1)*√2 = 2-√2.
Отрезки ВM и NС равны 2 - (2-√2) = √2.
Их произведение равно √2* √2 = 2.

Answer 2

Пусть $P$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, а $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Так как $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, то $P$ — середина гипотенузы $BC$, а $H$ — вершина прямого угла. Из равенства $AB=AC=2$ следует, что $PH=1$, $BP=CP=\sqrt{5}/2$, $AH=2$, $BH=CH=\sqrt{2}$.

Проведем высоту $KQ$ из точки $K$ на прямую $MN$ и обозначим $L$ — проекцию точки $P$ на прямую $KQ$. Так как расстояние от точки $K$ до прямой $MN$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $AB$, то $KL=LP=1$. Кроме того, так как треугольник $AKQ$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $1/2$, то $KQ=1$, $AQ=1$ и $BQ=BP+PQ=\sqrt{5}/2+1$.

Рассмотрим теперь треугольник $BQL$. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $BHL$ получаем $BL=\sqrt{2-\sqrt{2}}$. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $BLQ$ получаем $LQ=\sqrt{2+\sqrt{2}}-1$.

Заметим, что $\triangle BMN\sim\triangle BQL$, поэтому $\dfrac{BM}{BL}=\dfrac{BN}{BQ}$. Следовательно, $BM\cdot BQ=BL\cdot BN$. Подставляем значения: $BM\cdot(\sqrt{5}/2+1)=(\sqrt{2-\sqrt{2}})\cdot(\sqrt{2+\sqrt{2}}-1).$Решаем уравнение: $BM=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}-1}{\sqrt{5}/2+1}=\frac{2\sqrt{2}+2-\sqrt{10}-\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{10}}{3}.$Аналогично получаем, что $CN=BM$.

Таким образом, $BM\cdot CN=\left(\dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{10}}{3}\right)^2=\boxed{\dfrac{26-12\sqrt{2}}{9}}$.