Question

Ортогональной проэкцией данного триугольника, площадь которого равно 36√3 см(в квадрате), является  прямоугольный триугольник , один из катетов которого равен  12 см, а медиана, проведенная к гепотенузе, -7,5 см. Найдите угол между площедями этих триугольков. Может ли данны триугольник быть правильным?      

Answer 1

угол между площедями этих треугольников равен 32,6 см

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулу для ортогональной проекции триугольника на прямую:

Пусть ABC - исходный треугольник, а A'B'C' - его проекция на прямую, проходящую через точку A (или любую другую сторону треугольника). Тогда площадь проекции равна

S(A'B'C') = S(ABC) * |AA'| / |A'B'|,

где |AA'| - расстояние от точки A до прямой, |A'B'| - длина отрезка, образованного проекцией стороны AB.

Для начала найдем длину медианы AM, проведенной к гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABD (где D - середина BC). Известно, что AM = 7,5 см.

Также нам дан один катет AD = 12 см. По теореме Пифагора, гипотенуза BD равна BD = √(AD^2 + DM^2), где DM - другой катет треугольника ABD. Так как треугольник ABD прямоугольный, то DM = BM = BD / 2. Поэтому BD = 2DM = 2BM.

Таким образом, BD = 2DM = 2BM = 2√(AD^2 - AM^2) = 2√(144 - 56,25) = 2√87,75.

Площадь прямоугольного треугольника ABD равна S(ABD) = (1/2) * AD * DM = 45 см^2.

Теперь найдем площадь исходного треугольника ABC. По условию, S(ABC) = 36√3 см^2.

Найдем проекцию треугольника ABC на гипотенузу BD. Пусть A"B"C" - проекция треугольника ABC на гипотенузу BD. Тогда

S(A"B"C") = S(ABC) * |AA"| / |A"B"|, где |AA"| - расстояние от точки A до прямой BD, а |A"B"| - длина отрезка, образованного проекцией стороны AB.

Из треугольника ABD мы уже знаем BD и AM. Также мы можем найти угол BAD:

sin(BAD) = AM / BD = 7,5 / (2√87,75) = 0,1952, BAD = arcsin(0,1952) = 11,25°.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол BAC равен 90° - BAD = 78,75°.

Для того чтобы найти |AA"|, мы мож