Question

В наклонной треугольной призме высота равна 10√2, а боковые ребра составляют с плоскостью основания угол в 45°. Площади двух граней равны 100 и 200, а угол между ними 120°. Найдите объем призмы.

Answer 1

из данных площадей боковых граней (это параллелограммы) можно найти высоты боковых граней; они же будут сторонами перпендикулярного сечения призмы...

объем наклонной призмы=произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Answer 2

Для начала, давайте нарисуем наклонную треугольную призму и обозначим ее размеры:

cssCopy code
      A
      /\
     /  \
  c /____\ B
   \    /
  a \  /
     \/
      C

Здесь A и B - вершины основания призмы, С - вершина, расположенная выше основания. Треугольник ABC - прямоугольный треугольник, у которого угол между BC и AB равен 45 градусов.

Обозначим через a, b, c длины ребер призмы, через h - ее высоту.

Так как угол между боковыми гранями равен 120 градусам, то угол между плоскостью основания и боковой гранью равен 30 градусам. Поэтому треугольник ABC можно разделить на два равнобедренных треугольника ACD и BCD, где CD - это высота призмы.

Так как угол BCD равен 45 градусам, то треугольник BCD - прямоугольный треугольник со сторонами BC и CD, где CD = h.

Теперь мы можем выразить стороны треугольника ABC через a и h:

scssCopy code
AB = a / cos(45)
BC = a / sin(45)
AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = a * sqrt(2)

Также из условия задачи нам даны площади двух граней призмы: 100 и 200. Мы можем выразить площадь каждой грани через стороны треугольника ABC:

scssCopy code
S1 = (1/2) * AB * BC = (1/2) * (a^2 / 2) = a^2 / 4
S2 = (1/2) * BC * AC = (1/2) * a^2 * sqrt(2)

Так как мы знаем площадь каждой грани, мы можем найти a:

cssCopy code
a^2 / 4 = 100  =>  a = 20
a^2 * sqrt(2) / 2 = 200  =>  a = 20 * sqrt(2)

Мы получили два значения для a, но только одно из них удовлетворяет условию задачи, что угол между гранями равен 120 градусам:

scssCopy code
AC = a * sqrt(2) = 20 * sqrt(2) * sqrt(2) = 40

Теперь мы можем найти объем призмы:

scssCopy code
V = (1/3) * S1 * h = (1/3) * (a^2 / 4) * h =