Question

Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, одна з них дорівнює 48 см,а середня лінія трапеції- 25 см. Знайдіть висоту трапеції

Answer 1

--- 1 ---

из точки А проводим вправо отрезок длиной а к точке В

Здесь а должно быть > 25 с тем, чтобы АВ было большим основанием трапеции

от точки В влево откладываем отрезок 50 и из точки Q строим окружность радиусом 48, пересечение этой окружности с верхним основанием даст точку трапеции Д

Расстояние QB = 50, это гипотенуза

Расстояние QД = 48, это катет. 

Катет ВД по Пифагору

ВД = √(50²-48²) = √(2500 - 2304) = √196 = 14 см

Площадь треугольника QВД через катеты

S = 1/2*QД*ВД = 1/2*48*14 = 24*14 = 336

Площадь треугольника QВД через гипотенузу и высоту к ней

S = 1/2*QВ*ДН = 1/2*50*ДН = 336

25*ДН = 336
ДН = 336/25 = 13,44 см

Answer 2

Позначимо діагоналі трапеції як $AC$ та $BD$, де $AC$ є більшою діагоналлю, а $BD$ є меншою діагоналлю. За умовою, $AC\perp BD$ та $BD=48\text{ см}$.

Також за умовою дано, що середня лінія трапеції $EF$ дорівнює $25\text{ см}$.

Знаємо, що середня лінія трапеції розділяє її на дві рівні трапеції, тому ми можемо позначити $AE=CF=25/2=12.5\text{ см}$.

Позначимо висоту трапеції як $h$, тоді за теоремою Піфагора для трикутника $ABD$ маємо:

$AC^2=AD^2+CD^2$

Але ми знаємо, що $CD=AE=12.5\text{ см}$ та $AD=CF=AC-BD$, тому:

$AC^2=(AC-BD)^2+12.5^2$

$AC^2=AC^2-2\cdot AC\cdot BD+BD^2+156.25$

$2\cdot AC\cdot BD=BD^2+156.25$

$AC=\frac{BD^2+156.25}{2\cdot BD}=\frac{48^2+156.25}{2\cdot 48}=50.5\text{ см}$

Тепер можемо використати формулу для знаходження площі трапеції, яка дорівнює добутку середньої лінії на висоту, поділеним на 2:

$S=\frac{(a+b)h}{2}=\frac{(AC+BD)h}{2}=\frac{(50.5+48)h}{2}=49.25h$

Але ми також можемо виразити $h$ через відомі розміри трапеції:

$h^2=AE^2-\left(\frac{AC-BD}{2}\right)^2=12.5^2-\left(\frac{50.5-48}{2}\right)^2=93.25$

$h=\sqrt{93.25}=9.657\text{ см}$

Отже, висота трапеції дорівнює 9.657 см.