Question

В треугольнике АВС провели медиану AM найдите угол AMC, если углы BAC И BCA равны 45 и 30 градусов соответственно. Угол B получается 105, но дальше решить не получается.

Answer 1

Пусть АВ=с, ВС=а

Проведем из В высоту  Н.

Н=а/2 (катет в прямоугольном треугольнике против угла 30 градусов)

H= c*sqrt(2)/2 (катет в равнобедренном прямоугольном треугольнике)

a=c*sqrt(2)

а*а=с*с*2  или с/(а/2)=а/с

Но тогда в треугольниках АВМ и АВС угол В общий, а АВ/ВМ=ВС/АВ

Значит треугольники подобны.

Угол  АМВ=45 гр., а АМС=135 гр

Надеюсь, что без рисунка понятно, но он прилагается

Answer 2

Поскольку AM - медиана треугольника ABC, она делит сторону BC пополам, то есть BM = MC. Обозначим угол BAC через α, угол BCA через β.

Так как углы треугольника суммируются до 180 градусов, то угол CAB равен 180 - α - β.

Также, угол AMB равен 180 - β (поскольку AMB - противолежащий угол к стороне AC).

Теперь мы можем найти угол AMC, используя теорему косинусов в треугольнике AMC:

cos(AMC) = (AC² + MC² - AM²) / (2 × AC × MC)

AC равно AB, так как углы BAC и ABC равны, а стороны AB и AC - равные стороны треугольника. Таким образом, AC = AB = BC.

MC также равен BM, то есть MC = BM = BC / 2.

AM может быть найден, используя теорему Пифагора в треугольнике ABM:

AM² = AB² + BM²

AB² = AC² = BC² (из-за равнобедренности треугольника ABC)

BM² = (BC / 2)² = BC² / 4

Таким образом, AM² = BC² + BC² / 4 = (5 / 4) × BC²

Итак, мы получаем:

cos(AMC) = (AC² + MC² - AM²) / (2 × AC × MC) = (BC² + BC² / 4 - (5 / 4) × BC²) / (2 × BC × BC / 2) = (3 / 4)

Таким образом, cos(AMC) = 3/4. Чтобы найти угол AMC, мы можем использовать обратный косинус:

AMC = cos⁻¹(3/4) = 41.41 градусов (округленно до двух знаков после запятой).

Таким образом, угол AMC равен 41.41 градусов.