Question

Вершина А и В прямоугольника АВСД принадлежат плоскости альфа, но вершины С и Д не принадлежат данной плоскости. Найти расстояние от прямой СД до плоскости Альфа, если АВ = 5см, ВС = 12 см, а проекция диагонали прямоугольника на плоскость альфа равна 2 корней из 22

Answer 1

ABCD - прямоугольник
CD ║ AB    ⇒    CD ║ плоскости α

Расстояние от прямой CD до плоскости α измеряется по перпендикуляру  CK = DM

ABKM - прямоугольник ( каждая сторона образует прямой угол по теореме о трех перпендикулярах)

ΔBKA - прямоугольный
Теорема Пифагора
BK² = AK² - AB² = (2√22)² - 5² = 88 - 25 = 63

ΔBCK - прямоугольный
Теорема Пифагора
CK² = CB² - BK² = 12² - 63 = 81 = 9²

Расстояние от прямой CD до плоскости α равно 9 см

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится использовать теорему о проекции вектора на плоскость. Согласно этой теореме, проекция вектора $\vec{AB}$ на плоскость $\alpha$ равна $\operatorname{proj}{\alpha} \vec{AB} = \vec{AB} - \operatorname{proj}{\vec{n}} \vec{AB}$, где $\vec{n}$ - нормальный вектор плоскости $\alpha$, а $\operatorname{proj}_{\vec{n}} \vec{AB}$ - проекция вектора $\vec{AB}$ на направляющий вектор $\vec{n}$.

Для начала найдем нормальный вектор плоскости $\alpha$. Так как вершины $C$ и $D$ не лежат на плоскости $\alpha$, то мы не можем использовать диагональ $AC$ или $BD$ в качестве направляющего вектора. Вместо этого мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости $\alpha$, например, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC}.$ Вычислим его:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} B_x - A_x \\ B_y - A_y \\ B_z - A_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{BC} = \begin{pmatrix} C_x - B_x \\ C_y - B_y \\ C_z - B_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ h \end{pmatrix}$

где $h$ - неизвестная высота прямоугольника $ABCD$ над плоскостью $\alpha$. Чтобы найти $h$, воспользуемся теоремой Пифагора:

$h^2 = CD^2 - BC^2 = (AB^2 + BC^2) - BC^2 = AB^2 = 25.$

Таким образом, $h = 5$. Теперь мы можем вычислить нормальный вектор:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -25 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Заметим, что направление вектора $\vec{n}$ можно было получить и из условия задачи - так как вершины $C$ и $D$ не лежат на плоскости $\alpha$, то эта плоскость должна быть параллельна грани $ABCD$, которая определяется векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Тепер