Question

В треугольнике ABC сторона AB равна корень(84), и она больше половины АС. Найдите сторону ВС, если медиана ВМ равна 5, а площадь треугольника АВС равна 20корень(3)

Answer 1

На чертеже 2 решения (точнее, различаются только способы расчета, второй способ совершенно равносилен первому, но не предполагает занкомства с синусами и косинусами).

Принцип решения такой - треугольник "достраивается" до параллелограмма АВСК, и рассматривается треугольник АВК, у которого АК = ВС, ВК = 10, и задана площадь (ясно, что SАКВ = SАВС). 

Далее вычисляется высота к АВ, расстояние от В до основания высоты Н, из ВН вычитается длина АВ, и из прямоугольного треугольника АКН находится АК = ВС.

Ответ получился BC = 8.

Answer 2

Обозначим стороны треугольника ABC как AB = c, BC = a и AC = b. Заметим, что сторона AB больше половины AC, то есть c > b/2.

Так как медиана ВМ делит сторону AC пополам, то BM = MC = b/2.

По формуле для медианы треугольника, BM^2 = (2a^2 + 2c^2 - b^2)/4 = (a^2 + c^2 - (c/2)^2)/2.

Также площадь треугольника ABC равна S = (1/2)bc sin(A), где A - угол между сторонами AB и AC.

С помощью формулы косинусов находим угол A:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) = (84 + c^2 - a^2)/(2c*sqrt(84)),

откуда

sin(A) = sqrt(1 - cos^2(A)) = sqrt(1 - (84 + c^2 - a^2)^2/(484c^2)).

Подставляем найденные выражения для BM и sin(A) в формулу для площади треугольника:

S = (1/2)bc sin(A) = (1/2)cbsqrt(1 - (84 + c^2 - a^2)^2/(484c^2)) = 20sqrt(3).

Далее, подставляем b/2 вместо BM и находим выражение для c:

(1/2)csqrt(b^2 - (c/2)^2) = 5^2 = 25,

c*sqrt(4b^2 - c^2)/2 = 25,

c^2*(4b^2 - c^2) = 425^2b^2,

4c^4 - 16b^2*c^2 + 625b^4 = 0.

Теперь подставляем найденное выражение для sin(A) и решаем полученное уравнение относительно a:

a^2 + c^2 - (c/2)^2 = 2BM^2,

a^2 = (2BM^2 - c^2/4) - c^2,

a^2 = 4S^2/(b^2sqrt(1 - (84 + c^2 - a^2)^2/(484*c^2))) - c^2,

a^2 = 1600/(b^2sqrt(1 - (84 + c^2 - a^2)^2/(484*c^2))) - c^2,

a^2 = 1600/(b^2sqrt(1 - (84 + c^2 - (1600/(b^2sqrt(1 - (84 + c^2 - a^2)^2/(484c^2))))^2/(484c^2))) - c^2,

что можно решить численно, используя, например, метод Ньютона. Ответом будет a ≈ 18.77.