Question

Дано BAD=BCD=90° BD биссектриса B Доказать AD=DC

Answer 1

ΔBCD=ΔBAD, т.к ∠С=∠А=90°, ∠АВD=∠CBD (т.к по условию BD - биссектриса) ⇒  AD=DC

Answer 2

Рисуем треугольник ABC с углом BCD = 90° и биссектрисой BD.

По определению биссектрисы, угол ABD = угол CBD.

Также, по свойствам прямоугольного треугольника, угол ABD = 90° - угол BAD.

Следовательно, угол CBD = 90° - угол BAD.

Из этих двух уравнений следует, что угол ABD = угол CBD = 45°.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Так как угол BCD = 90°, то угол CBD = 45°.

Также, по свойствам треугольника, сумма углов треугольника равна 180°.

Тогда угол BDC = 180° - угол BCD - угол CBD = 45°.

Таким образом, мы получили, что углы BDC и ABD равны 45°.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и DBC. У них есть два равных угла: углы ABD и BDC, поэтому они подобны.

Из подобия следует, что соответствующие стороны пропорциональны.

То есть, AD/BD = BD/DC, или AD = BD^2/DC.

Но мы знаем, что угол BDC = 45°, а значит, треугольник BDC является равнобедренным, и BD = DC.

Тогда AD = BD^2/DC = BD^2/BD = BD = DC.

Таким образом, мы доказали, что AD = DC.