Question

С РИСУНКОМ Через точку A окружности проведены диаметр AC и две хорды AB и AD, равные радиусу этой окружности.Найдите углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг AB,BC.CD,AD.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для начала, обозначим радиус окружности как $r$. Поскольку $AB$ и $AD$ равны радиусу, мы можем сделать вывод, что треугольники $ABC$ и $ADC$ являются равнобедренными, и углы $ABC$ и $ADC$ равны. Поскольку $AC$ является диаметром, он перпендикулярен $BC$ и $CD$. Это означает, что угол $ABC$ равен углу $ADC$, и оба они равны $\frac{180^{\circ}-\angle BCD}{2}$.

Поскольку угол $ACB$ является внутренним углом треугольника $ABC$, он должен быть меньше $180^{\circ}$, что означает, что угол $BCD$ равен $2\angle ACB$. Таким образом, угол $BCD$ равен $2\arccos(\frac{1}{2}) = 120^{\circ}$.

Учитывая, что углы $ABC$ и $ADC$ равны, а угол $BCD$ равен $120^{\circ}$, углы $ABD$ и $ACB$ также равны $120^{\circ}$. Это означает, что углы $BAD$ и $CAD$ равны $60^{\circ}$.

Дуга $AB$ соответствует углу $ACB$, который равен $120^{\circ}$, поэтому дуга $AB$ равна $\frac{1}{3}$ длины окружности, то есть $2\pi r/3$. Аналогично, дуги $BC$, $CD$ и $AD$ равны $2\pi r/3$ каждая.

Итак, углы четырехугольника $ABCD$ равны:

• $\angle ABC = \angle ADC = \frac{180^{\circ}-\angle BCD}{2} = 30^{\circ}$,
• $\angle BCD = 120^{\circ}$,
• $\angle BAD = \angle CAD = 60^{\circ}$.

А градусные меры дуг:

• $AB$ равна $\frac{2\pi r}{3}$,
• $BC$ равна $\frac{2\pi r}{3}$,
• $CD$ равна $\frac{2\pi r}{3}$,
• $AD$ равна $\frac{2\pi r}{3}$.