Question

Доказать, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный. Срочно нужно!

Answer 1

Дано: тр АВС
СВМ внешний угол угла АВС
ВР биссектриса угла МВР
РВ параллельна АС
Доказательство:
Т.к. РВ параллельна АС, то внутренние накрест лежащие углы при секущей АВ равны, по теореме о параллельности прямых. 
так как МВА внешний угол, а по теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме не смежных с ним углов, то угол МВР = угол А + угол С. по определению биссектрисы, МВР = РВА = А = С. 
Значит, угол А = С. 
Итак, треугольник АВС равнобедренный по определению.

Answer 2

Допустим, что биссектриса внешнего угла треугольника $ABC$ параллельна стороне $AB$ и пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $D$:

[asy] pair A,B,C,D; A=(0,0); B=(3,0); C=(1.5,2.5); D=(5,0); draw(A--B--C--cycle); draw(B--D); draw(anglemark(C,B,A,5)); draw(anglemark(B,D,C,5)); label("$A$",A,SW); label("$B$",B,SE); label("$C$",C,N); label("$D$",D,SE); [/asy]

Так как биссектриса внешнего угла $C$ параллельна стороне $AB$, то угол $B$ равен внешнему углу $ACD$, то есть $\angle BCD = \angle B + \angle A$.

Также по построению $\angle BCD = \frac{1}{2} \angle ACB + \angle A$, так как $CD$ -- биссектриса внешнего угла $C$.

Следовательно, $\frac{1}{2} \angle ACB + \angle A = \angle B + \angle A$, что равносильно $\angle ACB = 2\angle B$.

Таким образом, углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \frac{1}{2} \angle ACB = \angle B$, то есть треугольник $ABC$ является равнобедренным.