Question

1. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите длину окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см. 2. Из точки B к окружности проведены две касательных, расстояние между точками касания с окружностью которых равно 24 см. Найдите длины касательных, если радиус равен 10 см.

Answer 1

1. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, значит треугольник АВС прямоугольный. А СД - высота, проведенная на гипотенузу.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
СД²=АД*ВД
Пусть АД= х см, тогда ВД=х+21 см
100=х(х+21)
х²+21х-100=0
Д=441+400=841
х1=(-21-29)/2=-25 (отрицательное значение не рассматриваем)
х2=(-21+29)/2=4 см
АВ=х+х+21=4+4+21=29 см
Длина окружности L=πD=29π cм

 

Answer 2

1. Обозначим диаметр окружности через AB, перпендикуляр к AB через CD, точки пересечения CD с окружностью через E и F, а отрезки AC и CB через x и y соответственно. Тогда по теореме Пифагора для треугольников ABC и CDE имеем:

$AC^2 + CB^2 = AB^2$

$CE^2 + DE^2 = CD^2$

Из первого уравнения следует, что $AB^2 = (AC + CB)^2 = (x + y)^2$, а из второго уравнения следует, что $CD^2 = CE^2 + DE^2 = CE^2 + (AC - x)^2$.

Заметим, что $CE = CD - DE = CD - AC + x = AB/2 - AC + x = y - 21$, где мы использовали равенство $AB = 2AC + 2CB$. Таким образом, $CE^2 = (y - 21)^2$ и $AC - x = \sqrt{CD^2 - CE^2} = \sqrt{100 - (y-21)^2}$.

Из условия задачи имеем $x - y = 21$, откуда $x = (x-y)/2 + y = 21 + y$, и заменяя в первом уравнении $AB^2$ на $(x+y)^2$, получаем:

$(21+y)^2 = (AC+CB)^2 = AC^2 + CB^2 + 2AC\cdot CB = AB^2 + 2AC\cdot CB$

$(21+y)^2 = (x+y)^2 + 2AC\cdot CB = (21+2y)^2 + 2(x-y)CB = (21+2y)^2 + 42CB$

Откуда $CB = [(21+y)^2 - (21+2y)^2]/42 = y - 21$, и $AC = x - CB = 42$. Тогда длина окружности равна $AB\pi = 2AC\pi = 84\pi$ см.

2. Обозначим точки касания касательных с окружностью через C и D, а точку B через M. Тогда треугольники BMC, CMD и BCD равнобедренные, и мы можем использовать теоремы о касательных к окружности и их хордах, чтобы получить систему уравнений:

$BM = CM = x$

$DM = BD = CD - CB = \sqrt{r^2 - x^2} - r$

$BC = BD = \sqrt{r^2 - x^2} - r$

Откуда $CM + DM = BC$, то есть $2x + \sqrt{r^2 - x^2} - r = \sqrt{r^2 - x^2} - r$, или $x^2 = 24r$. Тогда длины касательных равны $\sqrt{x^2 + r^2} = \sqrt{25r} = 5\sqrt{r}$ см.