Question

Помогите,пожалуйста, решить задачку по  геометрии..........Даны точки А(-1,2), В(1,-2), С(7,2). Найти основание биссектрисы АК и ее длину

Answer 1

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC};$
$AB= \sqrt{4+16}= \sqrt{20}=2 \sqrt{5};$
$AC= \sqrt{64+0}= \sqrt{64}=8;$
$\frac{BK}{KC}= \frac{ 2\sqrt{5}}{8}=\frac{ \sqrt{5}}{4};$
координаты точки K , которая делит отрезок BC в отношении  λ, выражаются формулами:
$x_K= \frac{x_B+ \lambda x_C}{1+ \lambda};y_K= \frac{y_B+ \lambda y_C}{1+ \lambda};$
$\lambda= \frac{ \sqrt{5}}{4}; x_K= \frac{1+ 7*\frac{ \sqrt{5}}{4}}{1+ \frac{ \sqrt{5}}{4}};y_K= \frac{-2+ 2*\frac{ \sqrt{5}}{4}}{1+ \frac{ \sqrt{5}}{4}};$
$x_K= \frac{4+ 7\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}=\frac{(4+ 7\sqrt{5})(4-\sqrt{5})}{(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})}=\frac{16+28\sqrt{5}-35-4\sqrt{5}}{11}= \frac{24\sqrt{5}-19}{11};$
$y_K= \frac{-8+ 2 \sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}=\frac{(-8+ 2 \sqrt{5)}(4-\sqrt{5})}{(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5}}= \frac{-32+ 8 \sqrt{5}-10+8\sqrt{5}}{11}= \frac{16\sqrt{5}-42}{11};$

$AK^2=(\frac{24\sqrt{5}-19}{11}+1)^2+(\frac{16\sqrt{5}-42}{11}-2)^2=$
$=(\frac{24\sqrt{5}-8}{11})^2+(\frac{16\sqrt{5}-64}{11})^2=$
$=(\frac{8}{11})^2 (3\sqrt{5}-1)^2+ (\frac{16}{11})^2 (\sqrt{5}-4)^2=$
$=\frac{64}{121} (45-6\sqrt{5}+1)+ \frac{256}{121}(5-8\sqrt{5}+16)=$
$=\frac{64}{121} (46-6\sqrt{5})+ \frac{256}{121}(21-8\sqrt{5})=$
$=\frac{64}{121}(46-6\sqrt{5}+84-32\sqrt{5})=\frac{64}{121}(130-38\sqrt{5})$

Answer 2

Чтобы найти основание биссектрисы треугольника АСК, нужно сначала найти расстояние между точками А и К, где К - это точка пересечения биссектрисы с отрезком ВС. Затем нужно найти расстояние между точками К и основанием биссектрисы.

1. Найдем точку К: Для этого сначала найдем координаты точки СК, которая делит сторону ВС пополам. Используя формулу нахождения средней точки отрезка, получим:

x(CK) = (x(B) + x(C)) / 2 = (1 + 7) / 2 = 4 y(CK) = (y(B) + y(C)) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0

Теперь найдем угол АКС. Мы можем использовать теорему косинусов для треугольника АКС:

cos(∠AKS) = (AS^2 + KS^2 - AK^2) / (2 * AS * KS)

Где: AS = √[(x(S) - x(A))^2 + (y(S) - y(A))^2] - расстояние от точки А до точки S KS = √[(x(S) - x(CK))^2 + (y(S) - y(CK))^2] - расстояние от точки К до точки S

АК^2 = AS * KS * 2 * cos(∠AKS) + AS^2

Заменим известные значения:

AS = √[(-1 - 4)^2 + (2 - 0)^2] = √26 KS = √[(7 - 4)^2 + (2 - 0)^2] = √13 cos(∠AKS) = (-13 + 26 + AK^2) / (2 * √26 * √13)

Упростим:

2 * √26 * √13 * cos(∠AKS) = 13 + AK^2 - 26 2 * √338 * cos(∠AKS) = AK^2 - 13

2 * √338 * cos(∠AKS) + 13 = AK^2

2. Найдем расстояние между К и основанием биссектрисы:

Расстояние между К и основанием биссектрисы равно расстоянию от точки К до линии, содержащей биссектрису. Это расстояние равно расстоянию от точки К до середины отрезка АС, умноженное на синус угла АКС. Используем формулу:

d(K, BC) = sin(∠AKS) * d(K, M)

Где: M - середина отрезка АС d(K, M) = √[(x(M) -