Question

Равнобедренная трапеция с основаниями 3 и 13 см, диагональ которой является биссектрисой тупого угла, вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении

Answer 1

Решение во вложенном файле.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения площади поверхности тела, полученного при вращении кривой вокруг оси. Формула имеет вид:

S = 2π ∫[a,b] y(x) √(1 + (dy/dx)^2) dx

где y(x) - уравнение кривой, которую мы вращаем вокруг оси, [a,b] - интервал, на котором определена эта кривая, и dy/dx - производная функции y(x).

В нашей задаче кривой является биссектриса тупого угла, то есть прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и делающая равные углы с основаниями. Обозначим через x расстояние от точки пересечения биссектрисы и меньшего основания трапеции до точки на биссектрисе, которая находится на расстоянии y от меньшего основания. Тогда уравнение биссектрисы можно записать в виде:

y = (10/8)x

где коэффициент 10/8 получен из того факта, что диагональ трапеции делит ее на две равнобедренные трапеции со сторонами 3, 5 и 13, 5.

Теперь нам нужно найти производную функции y(x):

dy/dx = 10/8

Подставим y(x) и dy/dx в формулу для площади поверхности тела:

S = 2π ∫[0,3] (10/8)x √(1 + (10/8)^2) dx

S = 2π ∫[0,3] (5/4)x √(69/64) dx

S = 5π/32 ∫[0,3] x √69 dx

S = 5π/32 ∫[0,3] x^(3/2) √69 dx

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл:

S = 5π/32 * (2/5) * 3^(5/2) * √69

S = (3/2)π√69

Ответ: площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 13 см, диагональ которой является биссектрисой тупого угла, вокруг меньшего основания, равна (3/2)π√69 квадратных сантиметров.