Question

100 баллов! Основанием пирамиды есть треугольник со сторонами 13, 20, 21см. Если двогранные углы при основании =30° каждый, то чему равен обьем пирамиды? Решение обязательно с рисунком.

Answer 1

Основанием пирамиды есть треугольник со сторонами 13, 20, 21 см. Если двугранные углы при основании равны 30° каждый, то чему равен обьем пирамиды?

РЕШЕНИЕ:

• Из точки Н, основания перпендикуляра SH , проведём перпендикуляр к ВС в точке М .
• SH перпендикулярен НМ, НМ перпедикулярен ВС => по теореме о трёх перпендикулярах SM перпендикулярен ВС.
Аналогично, проводя перпендикуляры из точки Н к сторонам треугольника АВС получаем: SK перпедикулярен АС , SP перпедикулярен AB
• тр. SKH = тр. SMH = тр. SPH по катету и прилежащему углу ( SH - общий катет , угол KSH = угол МSH = угол PSH = 60° )
Значит, HK = HM = HP, но при этом НК перпедикулярен АС , НМ перпедикулярен ВС, НР перпедикулярен АВ => Значит, HK = HM = HP = r - радиусы вписанной окружности в тр. АВС.
• Найдём площадь тр. АВС по формуле Герона:

$s = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

где р = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр , a, b, c - стороны данного треугольника

$s = \sqrt{27(27 - 13)(27 - 20)(27 - 21)} = \sqrt{27 \times 14 \times 7 \times 6} = \\ = \sqrt{9 \times 3 \times 2 \times 7 \times 7\times 6} = 3 \times 6 \times 7 = 126$
• Используем формулу для нахождения радиуса вписанной окружности:

$s = p \times r \\ 126 = 27 \times r \\ r = \frac{126}{27} = \frac{14}{3}$

HK = HM = HP = r = 14/3 см

• Рассмотрим тр. SHM (угол SHM = 90°):
tg30° = SH / HM => SH = tg30° • ( 14 / 3 ) = ( V3 / 3 ) • ( 14 / 3 ) = 14V3 / 9 см

• V пир. = ( 1/3 ) • S abc • SH = ( 1/3 ) • 126 • ( 14V3 / 9 ) = ( 126/27 ) • 14V3 = ( 14/3 ) • 14V3 = 196V3 / 3 см^3



ОТВЕТ: 196V3 / 3 см^3

Answer 2

Для начала нарисуем треугольник, соответствующий основанию пирамиды:

cssCopy code
     A
     /\
    /  \
20 /    \ 21
  /      \
 /________\
B   13 см   C

Обозначим высоту пирамиды как h. Тогда с помощью теоремы Пифагора можно найти длину боковой грани:

Copy code
AB^2 + BC^2 = AC^2
13^2 + 20^2 = 21^2

scssCopy code
AB = sqrt(21^2 - 13^2) = sqrt(280) см

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды:

scssCopy code
S_осн = (1/2) * AB * BC = (1/2) * sqrt(280) * 20 = 20sqrt(35) см^2

Для нахождения объема пирамиды нам также нужна ее высота h. Она может быть найдена с помощью тригонометрических соотношений:

scssCopy code
h = AB * tan(30°) = sqrt(280) * (1/sqrt(3)) = (sqrt(280)/sqrt(3)) см

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

scssCopy code
V = (1/3) * S_осн * h = (1/3) * 20sqrt(35) * (sqrt(280)/sqrt(3)) = (560/3) см^3

Итак, объем пирамиды равен 560/3 кубических сантиметров.