Question

Даны длины сторон остроугольного треугольника ABC: AB=5, AC=7 и длина высоты BB1=4 . Найдите длину перпендикуляра проведенного из вершины B к медиане AM

Answer 1

..........................................................

Answer 2

Для начала, найдем длину третьей стороны треугольника BC, используя теорему Пифагора:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABACcos(∠A) где ∠A - угол при вершине A

cos(∠A) = BB1/AB cos(∠A) = 4/5

BC^2 = 5^2 + 7^2 - 257*(4/5) BC^2 = 74 BC = sqrt(74)

Затем найдем координаты точки M - середины стороны AC:

AM = MC = AC/2 = 7/2

Найдем уравнение прямой, содержащей медиану AM, в координатной форме:

y - (7/2) = (-1/2)(x - 5/2) y = (-1/2)x + 9/4

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с высотой BB1, проведенной из вершины B. Заметим, что эта точка будет являться проекцией вершины B на медиану AM:

Уравнение высоты BB1 в координатной форме:

y = (4/7)x

Подставим уравнение прямой медианы в уравнение высоты и решим систему уравнений:

(-1/2)x + 9/4 = (4/7)x x = 126/55

y = (4/7)*(126/55) = 72/55

Таким образом, координаты проекции вершины B на медиану AM равны (126/55, 72/55).

Найдем расстояние между этой точкой и вершиной B, которое и будет являться искомой длиной перпендикуляра:

d = sqrt((126/55 - 5)^2 + (72/55 - 0)^2) d = sqrt(1764/3025) d = 12/5

Ответ: длина перпендикуляра, проведенного из вершины B к медиане AM, равна 12/5.