Question

Вписанная окружность и его доказательство

Answer 1

Вписанная окружность и его доказательство

Answer 2

Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон многоугольника внутри него.

Доказательство существования вписанной окружности для треугольника:

1. Пусть дан треугольник ABC.

2. Проведем биссектрису угла A.

3. Пусть точка D - это точка пересечения биссектрисы угла A и стороны BC.

4. Проведем перпендикуляры к сторонам AB и AC, проходящие через точку D. Пусть точки пересечения будут обозначены как E и F соответственно.

5. Точка пересечения отрезков BE и CF - это центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

6. Чтобы доказать это, рассмотрим радиусы трех окружностей, проведенных через точки A, B и C и центры которых лежат на прямых, проходящих через точки E и F и перпендикулярно сторонам треугольника. Очевидно, что радиус окружности, проведенной через точки A, B и C, больше радиуса окружности, проведенной через точки B и C и центр которой лежит на прямой, проходящей через точку F. Аналогично, радиус окружности, проведенной через точки A и B и центр которой лежит на прямой, проходящей через точку E, больше радиуса окружности, проведенной через точки A и C и центр которой лежит на прямой, проходящей через точку F. Из этих двух неравенств следует, что радиус окружности, проведенной через точки A, B и C, больше радиуса окружности, проведенной через точки A, B и C и центр которой лежит на прямой, проходящей через точку, где пересекаются прямые, проходящие через точки E и F. Эта точка, как мы знаем, является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

Таким образом, мы доказали, что у треугольника ABC существует вписанная окружность. Доказательство для многоугольников аналогично, и оно также основывается на биссектрисах углов и перпендикулярах, проведенных к сторонам многоугольника.