Question

в равнобедренном треугольнике авс (ав = вс) косинус а равен 5 деленная на 13, высота равна 24 найдите периметр треугольника

Answer 1

Пусть BH - высота в треугольнике ABC, опущенная на сторону AC. Рассмотрим треугольник ABH. Это прямоугольный треугольник, так как угол AHB - прямой.
cosA = 5/13 => sinA = √(1-cos²A)=√(1-(5/13)²)=12/13
AB = BH/sinA = 24/(12/13) = 26
Отсюда AH = AB*cosA = 26*5/13=10.
Найдем периметр ABC:
AH=HC, AB=BC, поэтому P=AB+BC+AC=AB+BC+AH+HC=26+26+10+10=72.

Answer 2

Для решения задачи мы можем использовать теорему Пифагора и определение косинуса.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно b, а боковая сторона равна a. Тогда высота h, проведенная к основанию, делит треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты a/2 и h и гипотенузу b.

Мы знаем, что косинус угла a равен отношению прилежащего катета (a/2) к гипотенузе (b):

cos(a) = (a/2) / b

Отсюда можно найти b:

b = (a/2) / cos(a)

Также мы знаем, что площадь треугольника равна (1/2)bh. Подставляя значения b и h, получим:

S = (1/2) * [(a/2) / cos(a)] * 24

S = (a/32) * (24/cos(a))

Мы можем также выразить площадь через стороны треугольника, используя формулу Герона:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))

где p - полупериметр треугольника, равный (a+b+c)/2. Подставляя значения для b и h, получим:

S = sqrt(p(p-a)(a/2cos(a))(a/2cos(a)))

S = (a^2/4cos(a)) * sqrt(p(p-a))

Теперь мы можем приравнять два выражения для площади и решить уравнение относительно a:

(a^2/4cos(a)) * sqrt(p(p-a)) = (a/32) * (24/cos(a))

Упрощая это уравнение, мы получаем:

a^3 = 6144cos^2(a)

a = 24cos(a)^(2/3)

Теперь мы можем найти оставшиеся стороны треугольника, используя теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = a^2 + [(a/2) / cos(a)]^2

c^2 = a^2 + a^2/4cos^2(a)

c^2 = (5a^2/4) / cos^2(a)

c = a * sqrt(5) / 2cos(a)

Таким образом, мы нашли все три стороны треугольника. Чтобы найти его периметр, нужно их просуммировать:

P = a + b + c

P = a + 2(a/2) / cos(a) + a * sqrt(5) / 2cos(a)

P = a(1 + 2/cos(a) + sqrt(5) / 2)

Теперь подставляем найденное значение для a и вы