Question

На окружности радиуса 20 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АВ=25, АС=15, ВС=20, а треугольники АРС и ВРС равновелики. Найдите расстояние от  точки Р до прямой АВ,если иезвестно,что оно меньше 25.     ПОМОГИТЕ,НАРООД!

Answer 1

В решении этой задачи больше рассуждений, чем собственно вычислений. 
Из условия ясно, что, поскольку
СВ=20=r,

а С - центр окружности,

то вершина В треугольника АВС лежит на окружности,

а А - внутри окружности, т.к. АС меньше радиуса.
Из соотношения сторон треугольника АВС
АС:ВС:АВ=15:20:25=3k:4k:5k (k=5) видно, что треугольник этот - египетский и потому - прямоугольный, с прямым углом С.

 

Сделаем рисунок.

Для того, чтобы треугольники АРС и ВРС были равновелики, они

при равных основаниях должны иметь равные высоты.
АК=ВМ, РС - общее основание.
Но при АК=ВМ прямые АВ и РМ должны быть параллельны;

получаем четырехугольник с равными параллельными сторонами АК=ВМ, равными углами при стороне РМ. Отсюда АКМВ - прямоугольник.

И АВ||КМ.
Обратим внимание на то, что высота СН треугольника АВС равна высотам треугольников АРС и ВРС -

все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой.
Следовательно, расстояние РТ от точки Р до прямой АВ равно высоте СН треугольника АВС.
Высоту СН найдем из площади треугольника АВС.

Т.к. треугольник, как мы выяснили, прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов.
S =AC*BC:2=15*20:2=150

Но в то же время площадь равна половине произведения высоты СН на АВ:
S= СН*АВ:2=150
CH=2S:АВ=300:25=12

РТ=СН=12
Ответ: Расстояние от точки Р до прямой АВ=12

Answer 2

Обозначим через $O$ центр окружности, а через $h$ расстояние от точки $P$ до прямой $AB$.

Так как треугольники $ARS$ и $BRS$ равновелики, то угол $ARB$ равен углу $ASB$. Но так как треугольник $ASB$ равнобедренный, то угол $ASB$ равен $120^\circ$. Значит, угол $ARB$ также равен $120^\circ$.

Таким образом, треугольник $ARB$ является равносторонним, и его сторона равна 25. Значит, радиус окружности $OC$ также равен 25.

Из треугольника $AOC$ находим высоту $OH$:

$$OH = \sqrt{AC^2 - AO^2} = \sqrt{15^2 - 25^2} = 10\sqrt{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $APO$ и применим теорему синусов:

$$\frac{h}{\sin \angle APO} = \frac{OP}{\sin \angle AOP} = \frac{OC}{\sin \angle AOC} = \frac{25}{\frac{\pi}{3}} = \frac{75}{\pi}.$$

Заметим, что $\angle APO = 60^\circ$, так как треугольник $APO$ равносторонний. Таким образом, получаем:

$$h = \frac{75}{\pi} \cdot \sin 60^\circ = \frac{75\sqrt{3}}{2\pi} \approx 8.03.$$

Значит, расстояние от точки $P$ до прямой $AB$ равно примерно $8.03$. Это значение меньше $25$, как и требовалось.