Question

Геометрия. Помогите решить, с объяснениями. Через точку А проведены касательные AB(B - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что AB^2=AP*AQ.

Answer 1

. Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключенной внутри этого угла дуги, значит,  угол АВР равен  половине величины дуги ВР, заключённой между его сторонами ВА и ВР. 
Вписанный угол ВQP равен половине дуги ВР, на которую опирается.  ⇒ ∠  АВР = ∠ BQP 
В треугольниках ВАР и ВQA два равных угла:
угол А - общий,  ∠  АВР = ∠ BQP⇒
треугольники BQA  и BPA подобны. 
Из их подобия вытекает отношение : 
АВ:AQ=АР:АВ ⇒
АВ²=АР*АQ, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством касательной к окружности: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.

Пусть O - центр окружности, а M - середина отрезка PQ.

Так как AM является медианой треугольника APQ, то она делит PQ пополам, то есть PM = MQ.

Также из свойств окружности следует, что AB || PQ (так как угол, образованный касательной и хордой, равен углу, опирающемуся на ту же дугу).

Из подобия треугольников ABP и AMQ следует:

AB / AM = AP / AQ

AB = (AP * AM) / AQ

AB^2 = (AP * AM)^2 / AQ^2

AB^2 = (AP * MQ)^2 / AQ^2

AB^2 = AP^2 * MQ^2 / AQ^2

Так как MQ = PM, то MQ^2 = PM^2 = AM^2 - AP * AQ (из теоремы Пифагора для треугольника AMP).

Таким образом,

AB^2 = AP^2 * (AM^2 - AP * AQ) / AQ^2

AB^2 = AP^2 * AM^2 / AQ^2 - AP^3 / AQ + AP^2

AB^2 = AP * AQ - AP^3 / AQ + AP^2

AB^2 = AP * AQ - (AP^2 * AQ) / AQ + AP^2

AB^2 = AP * AQ

Таким образом, мы доказали, что AB^2 = AP * AQ, что и требовалось доказать.