Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, AC=16 см. На стороне AB взята точка K так ,что прямая OK перпендикулярна AB и OK= см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ. СРОЧНО ПЛИИИИИИИИЗ

Answer 1

Вот держи, грязновато, но зато 2 способа

Answer 2

Пусть сторона ромба равна $a$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$. Так как $AC$ является высотой треугольника $ABC$, то площадь этого треугольника равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot a = 8a$.

Также заметим, что треугольник $AOK$ является прямоугольным, поэтому $AK^2 + OK^2 = AO^2$. Используя теорему Пифагора, получаем:

$$AK^2 + OK^2 = AO^2 \quad \Rightarrow \quad AK^2 + 64 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2$$

Так как $AK = \frac{1}{2} AB$, то $AB = 2AK$. Используя теорему Пифагора для треугольника $ABO$, получаем:

$$AB^2 + BO^2 = d_1^2$$

Так как $ABCD$ является ромбом, то $AB = CD = 2AK$, а также $BO = \frac{1}{2}d_2$. Подставляя выражения для $AB$ и $BO$ в последнее уравнение, получаем:

$$(2AK)^2 + \left(\frac{1}{2}d_2\right)^2 = d_1^2 \quad \Rightarrow \quad 4AK^2 + \frac{1}{4}d_2^2 = d_1^2$$

Заметим, что $4AK^2 = 4OK^2 = 64$, поэтому:

$$d_1^2 - \frac{1}{4}d_2^2 = 64$$

А также, используя формулу для площади ромба через диагонали:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2}d_1 \cdot \frac{1}{2}d_2 = \frac{1}{4}d_1d_2 = 8a$$

Таким образом, у нас получилась система из двух уравнений:

$$\begin{cases} d_1^2 - \frac{1}{4}d_2^2 = 64 \\ d_1d_2 = 32a \end{cases}$$

Решая ее относительно $d_1$ и $d_2$, получаем:

$$d_1 = \sqrt{256 + d_2^2} \quad \text{и} \quad d_2 = \frac{32a}{d_1}$$

Подставляя в первое уравнение, получаем:

$$\sqrt{256 + d_2^2} - \frac{1}{4}d_2 = 8 \quad \Rightarrow \quad d_2^4 - 1024d_2^2 + 2^{16} = 0$$

Решая это уравнение,