Question

Докажите, что площадь треугольника АВС вычисляется по формуле S= 1/2 Pr

Answer 1

Треугольник АВС, О=центр вписанной окружности , точка пересечения биссектрис, Н -точка касания окружности на АВ, К-точка на ВС, М-точка на АС, проводим ОА, ОВ, ОС, проводим радиусы, препендикулярные в точки касания - ОН, ОК, ОМ, ОН=ОК=ОМ=радиус=r, площадь треугольника АВО=1/2АВ*ОН, площадьВОС=1/2ВС*ОК, площадь АОС=1/2АС*ОМ, площадь АВС=площадьАОВ+площадьВОС+площадьАОС=1/2АВ*ОН+1/2ВС*ОК+1/2АС*ОМ, но ОН=ОК=ОМ=r, площадьАВС=1/2*r*(АВ+ВС+АС), ноАВ+ВС+АС=периметр Р, значит площадьАВС=1/2*Р*r

Answer 2

Для доказательства данной формулы воспользуемся понятием векторного произведения и свойством площади параллелограмма, образованного двумя векторами.

Пусть дан треугольник ABC со сторонами AB, BC и CA, а P - произвольная точка в плоскости треугольника. Тогда векторные равенства можно записать следующим образом:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$ $\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C}$ $\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A}$ $\vec{BP} = \vec{P} - \vec{B}$ $\vec{CP} = \vec{P} - \vec{C}$

Рассмотрим векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = (\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{C} - \vec{A})$

Раскрывая скобки, получим:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{B} \times \vec{C} - \vec{B} \times \vec{A} - \vec{A} \times \vec{C} + \vec{A} \times \vec{A}$

Так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, последнее слагаемое равно нулю, и мы можем записать:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{B} \times \vec{C} - \vec{B} \times \vec{A} - \vec{A} \times \vec{C}$

По свойству модуля векторного произведения и площади параллелограмма, образованного векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, получим:

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = |\vec{B} \times \vec{C} - \vec{B} \times \vec{A} - \vec{A} \times \vec{C}| = 2S_{ABC}$

где $S_{ABC}$ - площадь треугольника ABC.

Теперь рассмотрим векторное произведение векторов $\vec{AP}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AP} \times \vec{BC} = (\vec{P} - \vec{A}) \times (\vec{C} - \vec{B})$

Раскрывая скобки, получим:

$\vec{AP} \times \vec{BC} = \vec{P} \times \vec{C} - \vec{P} \times \vec{B} - \vec{A} \times \vec{C} + \vec{A} \times \vec{B}$

Так как треуг