Question

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллепипед          K∈BC   BK:KC=1:2         AB=a    AA1=3a         ABCD - квадратПостроить: 1) α, проходящее через A, A1 и K                 2) Определить вид сечения                 3) Найти площадь

Answer 1

Раз АВСД квадрат, и сторона АВ=а, то сторона ВС тоже будет а.... значит ВК будет а/3 ... КС будет а*2/3, чтобы нарисовать сечение мы должны паралеллно к АА1 через точку К провести прямую, тогда скажем что эта прямая пересекает В1С1 в точке Р.... и так у нас получится прямоугольник... потому что АА1 перепендикулярна на плоскости АВСД и А1В1С1Д1... а КР паралелльна к АА1 поэтому она тоже будет перепендикулярна к плоскости АВСД и А1В1С1Д1... и так мы докозали что это прямоугольник... теперь найдем площадь прямоугольника... S=a*b... в этом у нас есть 3а .. теперь надо найти другую сторону.. расмотрим прямоугольный треугольник АВК.. ВК= а/3.. АВ=а... через теорему пифагора найдем гипотинузу АК.. она будет равна а*корень10/3.. НАКОНЕЦ ТО ПЛОЩАДЬ (обажаю завершающие моменты геометрий) ... S=3a * а*корень10/3= 2a^2 ВОТ И ВСЕ...

Answer 2

Для начала нарисуем схему данной фигуры, чтобы было проще визуализировать решение:

markdownCopy code
A1______________________B1
 /|                      /|
/ |                     / |
A_|___________________B__|
|  |                    |  |
|  |                    |  |
|  |                    |  |
|  |                    |  |
|  D1__________________|__C1
| /                     | /
|/                      |/
D_______________________C

1. Для построения плоскости α, проходящей через точки A, A1 и K, нужно найти координаты этих точек в пространстве. Точки A и A1 известны, поэтому найдем координаты точки K.

Из условия BK:KC=1:2 можно сделать вывод, что точка K делит отрезок BC на три равные части. Так как длина AB=a, то длина BC=CD=AD=√2a. Поэтому точка K находится на расстоянии √2a/3 от точки B (и от точки C).

Теперь можем найти координаты точки K: K(B.x, B.y + √2a/3, B.z + √2a/3).

Для нахождения уравнения плоскости α воспользуемся формулой общего уравнения плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - координаты нормального вектора к плоскости, а D - свободный член.

Нормальный вектор к плоскости можно найти как векторное произведение векторов A1A и A1K:

n = (A1A) x (A1K).

Найдем координаты векторов A1A и A1K:

A1A: (A.x - A1.x, A.y - A1.y, A.z - A1.z) = (-3a, 0, 0), A1K: (K.x - A1.x, K.y - A1.y, K.z - A1.z) = (B.x - A1.x, B.y + √2a/3 - A1.y, B.z + √2a/3 - A1.z).

Вычислим векторное произведение:

n = A1A x A1K = (-3a, 0, 0) x (B.x - A1.x, B.y + √2a/3 - A1.y, B.z + √2a/3 - A1.z) = (0, -9a(B.z + √2a/3 - A1.z), 9a(B.y + √2a/3 - A1.y)).

Так как плоскость должна проходить через точку A, то подставим ее координаты и найдем свободный член D:

-3aA.x + D = 0, D = 3aA.x