Question

Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC причём точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите что ABCD паралелограма

Answer 1

Середина отрезка BD является центром окружности, значит отрезок BD - ее диаметр, так же как и отрезок АС (дано). Тогда вписанные углы <АВС и <ADC - опираются на диаметр АС, а <BCD и <BAD - на диаметр BD. Следовательно, все четыре угла четырехугольника ABCD равны между собой и равны 90°. Значит четырехугольник ABCD - прямоугольник, то есть параллелограмм, что и требовалось доказать.

Answer 2

Из условия задачи следует, что точка B лежит на окружности с диаметром AC, а значит, угол ABC прямой.

Также, как середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, то отрезок AB равен по длине отрезку CD (так как это хорды, проходящие через центр окружности).

Пусть M - середина отрезка AC. Тогда BM является медианой треугольника ABC, а также высотой и медианой треугольника ACD. Следовательно, BM перпендикулярен AC и делит треугольник ACD на два равных по площади треугольника: ABM и BCM.

Аналогично, DN является медианой треугольника ADC и высотой и медианой треугольника BCD. Следовательно, DN перпендикулярен AC и делит треугольник BCD на два равных по площади треугольника: ABN и CDN.

Так как треугольники ABM и CDN равны по площади, а треугольники BCM и ABN равны по площади, то площади всего параллелограмма ABCD равны. Значит, ABCD является параллелограммом.