Question

8 класс Используя прямоугольный треугольник с углом 30 градусов найдите tg15 градусов

Answer 1

                    Решение : //////////////////////////////////

Answer 2

1 способ.

Пусть дан  ΔАВС (∠С =90°) с острым углом В, равным 30°, из его вершины проведем биссектрису ВВ₁, где В₁- точка пересечения биссектрисы с  катетом АС.  Воспользуемся свойством катета , лежащего против угла в 30°, это катет АС в ΔАВС. Он равен половине гипотенузы АВ.

Введем обозначения.  Пусть АС =х, тогда АВ=2х, СВ₁=у, АВ₁=х-у, СВ=√((2х)²-х²))=х√3.

Пользуюсь только свойством биссектрисы угла.))) Она делит катет АС на отрезки АВ₁ и СВ₁, пропорциональные прилежащим сторонам АВ и СВ, составим пропорцию. АВ₁/СВ₁=АВ/СВ, с учетом обозначений

(х-у)/у=2х/х√3, х/у-1=2/√3; х/у=(1+2/√3), х√3/у=2+√3; у/(х√3)=1/(2+√3)

у/(х√3)=(2-√3)/((2-√3)(2+√3)); у:(х√3)=(2-√3)/1

Получили: у:(х√3)=(2-√3), но слева стоит отношение, которое определяет tg15°. Требуемое доказано.

2 способ. Менее интересен. Но все же. Можно любую формулу тригонометрии привлечь. Мне нравится эта.) tg(α/2)=sinα/(1+cosα), где α=30°, т.е. tg15°=sin30°/(1+cos30°)=0,5/(1+√3/2)=2*0,5/(2+√3)=

(2-√3)/1=2-√3;

Answer 3

Для решения этой задачи нам понадобится знание тригонометрических функций и их свойств. В данном случае нам известен прямоугольный треугольник с углом 30 градусов, а мы хотим найти значение tg 15 градусов.

Мы можем воспользоваться свойством тангенса: tg(α) = sin(α) / cos(α), где α - угол, для которого мы ищем значение тангенса.

Для начала найдем значение синуса и косинуса угла 30 градусов. Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов противолежащий катет равен половине гипотенузы, а прилежащий катет равен (3^(1/2)) / 2 раз гипотенузы. Поэтому:

sin(30°) = противолежащий катет / гипотенуза = 1/2 cos(30°) = прилежащий катет / гипотенуза = (3^(1/2)) / 2

Теперь мы можем вычислить значение тангенса угла 15 градусов:

tg(15°) = sin(15°) / cos(15°)

Но мы не знаем синуса и косинуса угла 15 градусов.

Мы можем воспользоваться формулой понижения степени: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α), чтобы выразить синус и косинус угла 15 градусов через синус и косинус угла 30 градусов:

sin(30°) = 2 sin(15°) cos(15°) cos(30°) = cos^2(15°) - sin^2(15°)

Мы можем решить эту систему уравнений относительно sin(15°) и cos(15°). Для этого возведем первое уравнение в квадрат, затем сложим его с квадратом второго уравнения:

4 sin^2(15°) cos^2(15°) + cos^4(15°) - sin^4(15°) = 1/4

Заметим, что cos^2(15°) + sin^2(15°) = 1, поэтому можем заменить cos^2(15°) на (1 - sin^2(15°)):

4 sin^2(15°) (1 - sin^2(15°)) + (1 - sin^2(15°))^2 - sin^4(15°) = 1/4

Раскроем скобки и приведем подобные слагаем