Question

Пропишите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусов

Answer 1

Сумма внешнего+внутренний при одной вершине=180°, вершин n, т е в 
сумме 180°*n, сумма внутренних углов=180°(n-2),
сумма внешних углов=180°*n-180°(n-2)=180°n-180°n+360°=360°

Answer 2

Для любого выпуклого многоугольника с $n$ вершинами сумма внешних углов при каждой вершине равна $360^\circ$. Это свойство называется "теоремой об угле внешнего многоугольника".

Чтобы понять, почему это так, можно рассмотреть следующую схему:

1. Выберем любую вершину многоугольника.
2. От этой вершины проведем две луча, соответствующие двум смежным сторонам многоугольника.
3. Возьмем любую из этих сторон и продолжим ее за вершину, образуя внешний угол.
4. Повторим эту процедуру для каждой вершины многоугольника, получив $n$ внешних углов.
5. Сложим меры всех внешних углов.

Так как каждый внешний угол является дополнением к соответствующему внутреннему углу (углу между двумя смежными сторонами многоугольника), то сумма мер всех внешних углов будет равна сумме мер всех внутренних углов, которая равна $(n-2) \cdot 180^\circ$ по свойству суммы углов в многоугольнике. Таким образом, мы получаем:

сумма внешних углов = сумма мер всех внутренних углов, дополненных до 180 градусов = $(n-2) \cdot 180^\circ$ (сумма мер всех внутренних углов) + $360^\circ$ (дополнения до 180 градусов) = $(n-2) \cdot 180^\circ + 360^\circ$ = $n \cdot 180^\circ$ = $360^\circ$ (для выпуклого многоугольника)

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов.