Question

Точка K не лежит в плоскости трапеции ABCD. Через середины отрезков KA и KB проведена прямая EF (AB||CD) 1) Докажите, что прямые EF и DC параллельны 2) Определите вид четырёхугольника DCEF, если AB:BC=2:1 Заранее благодарю за помощь.

Answer 1

Ответ:

В объяснении.

Объяснение:

1) Через точки А, К и В можно провести ЕДИНСТВЕННУЮ плоскость. Значит эти точки лежат в одной плоскости и образуют треугольник, в котором EF - средняя линия (так как проходит через середины сторон АК и КВ). Средняя линия треугольника АКВ параллельна стороне АВ этого треугольника по определению. Итак, EF║AB, AB║CD (дано)  => EF║DC, (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны) что и требовалось доказать.

2) Итак, EF║DC, прямые ED и FC не параллельны, так как

EF =(1/2)·DC.

Четырехугольник DEFC - трапеция по определению (если две стороны параллельны, а две другие нет, то четырехугольник - трапеция).

Answer 2

1. Для того чтобы доказать, что прямые EF и DC параллельны, нужно показать, что у них нет точек пересечения.

Пусть M - середина отрезка KA, N - середина отрезка KB.

Так как AM и BM - это медианы треугольника KAB, то точка M делит отрезок KB в отношении 1:1, а точка N делит отрезок KA в отношении 1:1. То есть, AM = MB и BN = NA.

Также, AB || CD, поэтому угол ABC = угол CDA.

Рассмотрим треугольники ABN и DCM. У них соответственные углы равны (угол BAN = угол CDM, угол ABN = угол DCM). Поэтому эти треугольники подобны друг другу.

Так как AB:BC=2:1, то AB = 2BC. Следовательно, угол ABC = 2 угла BCA. Аналогично, угол CDA = 2 угла ACD.

Таким образом, треугольники DCM и ABN подобны с коэффициентом 2:1.

Отсюда следует, что DM = 2BN и CM = 2AN.

Теперь рассмотрим треугольники DCM и FNE. Они подобны друг другу по двум углам: угол DCM = угол FNE (так как прямая EF проходит через середины KA и KB), а угол CDM = угол NEF (так как AB || CD).

Поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом 2:1.

Так как DM = 2BN и CM = 2AN, то соответственные стороны треугольников DCM и FNE имеют такое же отношение:

DC:EF=2:1.

Значит, EF || DC, и доказательство завершено.

2. Так как AB || CD, то углы CDE и AEF смежные и равны (параллельные прямые образуют соответственные углы).

Рассмотрим треугольники DCE и AFE. Они подобны друг другу, так как у них соответственные углы равны, а один из углов при основании (угол CDE) равен углу при основании AEF.

Так как AB:BC=2:1, то соответственные стороны треугольников DCE и AFE также имеют отношение 2:1.

Значит, DE = 2EF.

Также, угол DCE = угол AFE, так как это соответственные угл