Question

Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24см квадратных а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2см и 3см

Answer 1

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны, есть перпендикуляр, опущенный из точки на эту сторону. Длина этого перпендикуляра равна половине высоты (см. свойства параллелограмма) . следовательно высоты параллелограмма равны соответственно 2*2=4, 3*2=6. площадь 24=А*4 и 24=Б*3. Отсюда находим А=6 и Б=4. Где А и Б - стороны параллелограмма. Периметр равен Р= 2(А+Б) = 2(4+6)="10.

Answer 2

Пусть параллелограмм имеет основания $a$ и $b$, а высота равна $h$. Тогда его площадь равна $S=ah$, но так как точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2см и 3см, то $h^2 = \left(\frac{a}{2} - 2\right)\left(\frac{b}{2} - 3\right)$.

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам точкой их пересечения, то можно заметить, что параллелограмм можно разбить на четыре треугольника с высотами, равными $2$ и $3$ см. Поэтому, его площадь равна $S = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 12$ см$^2$.

Из условия $S=24$ см$^2$ следует, что $ah=24$.

Выразим $a$ через $h$ из уравнения $h^2 = \left(\frac{a}{2} - 2\right)\left(\frac{b}{2} - 3\right)$, получим $a=2\sqrt{\left(\frac{b}{2}-3\right)+h^2}$.

Подставим найденное значение $a$ в уравнение $ah=24$: $2\sqrt{\left(\frac{b}{2}-3\right)+h^2}h=24$ $\sqrt{\left(\frac{b}{2}-3\right)+h^2}h=12$ $(\frac{b}{2}-3)+h^2=\frac{144}{h^2}$ $h^4-(\frac{b}{2}-3)h^2+144=0$

Решив квадратное уравнение относительно $h^2$, получим: $h^2 = \frac{b}{4}-3 \pm \sqrt{\left(\frac{b}{4}-3\right)^2 - 144}$

Так как $h^2>0$, то необходимо выбрать знак "+" в формуле. Имеем: $h^2 = \frac{b}{4}-3 + \sqrt{\left(\frac{b}{4}-3\right)^2 - 144}$

Теперь можем найти периметр параллелограмма: $P=2(a+b)=4\sqrt{\left(\frac{b}{2}-3\right)+h^2}+2b=4\sqrt{\frac{b}{4}-3 + \sqrt{\left(\frac{b}{4}-3\right)^2 - 144}}+2b$

Значение $b$ можно найти, решив полученное уравнение относительно $b$ используя условие $S=24$: $12=P\cdot h = P\cdot \sqrt{\left(\frac{b}{2}-3\right)+h^2}$

$$$$