Question

Точка Р принадлежит стороне АС треугольника АВС так , что <ВАС=РВС, АР=1, РС=8. Найдите длину строны ВС. ( с чертежом пожалуйста ) СПАСИБО )))

Answer 1

Поместим треугольник АВС точкой А в начало координат, стороной АС по оси Ох. Координаты точек А, Р и С известны: А(0; 0), Р(1; 0), С((9; 0).

Неизвестные координаты точки В примем (х; у).

Из точки В опустим перпендикуляр ВД на АС.

Угол РВС состоит из двух углов: РВД и ДВС.

tg(РВД) = (x - 1)/y, tg(ДВС) = (9 - x)/y.

Находим тангенс суммы углов.

tg(РВД) =  (((x - 1)/y) + ((9 - x)/y))/(1 - ((x - 1)/y)*((9 - x)/y)) =

             =  (x - 1 +9 - x)/(y(у² - (x - 1)*(9 - x)/y).

После приведения подобных и сокращения получаем:

tg(РВД) = 8у/(у² -  (x - 1)*(9 - x).

Так как по заданию угол РВД равен углу ВАС тангенс которого равен

у/х, то приравняем: 8у/(у² -  (x - 1)*(9 - x) = (у/х).

По свойству пропорции после сокращения на у получаем:

8х = у² - 9х + 9 + х² - х  или х² - 18х + 9 + у² = 0.

Выделим полный квадрат по х: (х² - 18х + 81) - 81 +9 + у² = 0.

(х - 9)² + у² = 72.

Получили уравнение окружности с центром в точке С и радиусом R = √72 = 6√2.

То есть, радиусом является искомая сторона ВС.

Ответ: ВС = 6√2 ≈ 8,48528.

Answer 2

К сожалению, я не могу предоставить чертеж в этом чате, но я могу помочь вам решить эту задачу.

Обозначим длины сторон треугольника как AB = a, AC = b, и BC = c. Также обозначим углы как <BAC = x, <ABC = y, и <ACB = z.

Учитывая, что <ВАС=РВС, мы можем сделать вывод, что треугольник ABP подобен треугольнику BCS по стороне BS и углу B. Таким образом, мы можем написать:

cssCopy code
BP / BC = BA / BS
BP / c = a / (BS + a)

Учитывая, что AR = 1 и RC = 8, мы можем записать:

cssCopy code
BS = BR + RS = (a - 1) + 8 = a + 7

Теперь мы можем подставить это в уравнение выше и решить его относительно c:

cssCopy code
BP / c = a / (a + 7 + a - 1)
BP / c = a / (2a + 6)
c = BP * (2a + 6) / a

Осталось найти BP. Для этого мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике ABP:

scssCopy code
BP^2 = BA^2 + AP^2 - 2*BA*AP*cos(x)
BP^2 = a^2 + 1 - 2*a*cos(x)

Но мы знаем, что <VAS = <BAC = x, так что мы можем использовать тот же угол в треугольнике VCS и написать:

scssCopy code
VC^2 = VS^2 + SC^2 - 2*VS*SC*cos(x)

Но мы знаем, что RC = 8 и PS = PR + RS = 1 + BS = a + 8, так что мы можем записать:

cssCopy code
VS = RC - PR = 8 - (a + 1) = 7 - a
SC = RS + CS = BS - BC = (a + 7) - c

Теперь мы можем подставить эти выражения и решить уравнение относительно BP:

scssCopy code
VC^2 = (7 - a)^2 + ((a + 7) - c)^2 - 2*(7 - a)*((a + 7) - c)*cos(x)
a^2 + 1 - 2*a*cos(x) = (7 - a)^2 + ((a + 7) - c)^2 - 2*(7 - a)*((a + 7) - c)*cos(x)
c = 2*a + 12

Теперь мы знаем, что c = 2a + 12 и можем подставить это в уравнение для c выше:

scssCopy code
c = BP * (2a + 6) / a
2a + 12 = BP * (2a + 6) / a
BP = (2a + 12)