Question

боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45. Основанием пирамиды служит треугольник со стороной , равно 10 и противолежащим углом 30. Чему равен объем описанного около пирамиды конуса?

Answer 1

Раз все боковые ребра пирамиды SABC наклонены к плоскости основания под одним углом, то высота SH проецируется в центр окружности описанной около основания
<ACB = 30* ⇒дуга АВ = 30 * 2 = 60* (<ACB - вписанный)
<AHB = 60* (<AHB - центральный) a раз ВН = АН = R ⇒ ΔABH - равносторонний ⇒
 ⇒ ВН = АН = АВ = 10
<SAH = 45* (по условию)
SH = AH * tg45 = 10
площадь основания Socн. = πR² = AH²π = 100π
объем конуса  Vk = 1/3 * Socн. * h =1/3 * SH * Socн. = 1/3 * 10 * 100π = 1000π/3 

Answer 2

Для вычисления объема описанного около пирамиды конуса нам понадобится найти высоту пирамиды и радиус основания конуса.

Поскольку боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45 градусов, каждое боковое ребро составляет прямой угол с основанием пирамиды. Это означает, что пирамида является правильной пирамидой.

Так как противолежащий угол основания пирамиды равен 30 градусам, это означает, что основание пирамиды является равносторонним треугольником со стороной 10.

Радиус основания конуса будет равен радиусу описанной окружности вокруг основания пирамиды. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника.

Таким образом, радиус основания конуса равен $r = \frac{10}{2} = 5$.

Высота пирамиды равна высоте конуса. Поскольку пирамида является правильной, её высота может быть найдена с использованием формулы $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$, где $a$ - длина стороны основания пирамиды.

Подставляя значение стороны $a = 10$ в формулу, получаем $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = 5\sqrt{3}$.

Теперь мы можем вычислить объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$, где $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота конуса.

Подставляя значения радиуса $r = 5$ и высоты $h = 5\sqrt{3}$ в формулу, получаем:

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 5\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \pi \times 125 \sqrt{3}$.

Таким образом, объем описанного около пирамиды конуса равен $\frac{125\sqrt{3}\pi}{3}$.