Question

Найти площадь параллелограмма если его высоты = 2 см. и 2√2 см., а острый угол параллелограмма = 45°.

Answer 1

Так как угол 45 градусов, сторона равна корень из 8, а площадь корень из восьми на два корней из вости = 8 кв см площадь

Answer 2

Пусть основания параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты равны $h_1 = 2$ см и $h_2 = 2\sqrt{2}$ см. Так как острый угол параллелограмма равен 45 градусов, то каждая диагональ параллелограмма делит его на два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих треугольников. Он имеет катеты $a$ и $h_1$, поэтому его площадь равна $S_1 = \frac{1}{2} a h_1$. Также этот треугольник имеет гипотенузу $d$, которая является диагональю параллелограмма. Из теоремы Пифагора следует, что $d^2 = a^2 + h_1^2$.

Аналогично, для второго треугольника с катетами $b$ и $h_2$ и гипотенузой $d$ мы можем записать $S_2 = \frac{1}{2} b h_2$ и $d^2 = b^2 + h_2^2$.

Так как диагонали параллелограмма имеют одинаковую длину, то $d^2 = (a+b)^2/2$. Подставляя в эту формулу выражения для $d^2$ из двух предыдущих уравнений, получаем $(a+b)^2/2 = a^2 + h_1^2 = b^2 + h_2^2$. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем уравнение $a b = 4\sqrt{2}$.

Теперь можно найти площадь параллелограмма: $S = a h_1 = \frac{4\sqrt{2}}{h_1} = \boxed{4\sqrt{2}}$ квадратных сантиметра.