Question

через середину отрезка AB проведена прямая CD, перпендикулярная AB.Докажите, что любая точка этой прямой равноудалена от точек A и B​

Answer 1

Рассмотрим треугольники АОС и ВОС, где О - точка пересечения СД И АВ. О - середина отрезка АВ, СО - общий катет для этих треугольников, а поскольку О - середина АВ, то ВО = АО, значит, указанные выше треугольники равны по двум катетам, в равных треугольниках соответственные стороны равны. Таковыми являются СА и  СВ, а это и доказывает утверждение задачи.

Answer 2

Пусть M - произвольная точка на прямой CD, а O - середина отрезка AB. Так как CD перпендикулярна AB, то OM также является высотой треугольника ABO, а следовательно, OM перпендикулярна AB.

Также, так как O - середина отрезка AB, то AO и BO равны по длине и составляют одинаковые углы с прямой AB. Следовательно, треугольники AOM и BOM являются равнобедренными, а значит, AM = BM.

Таким образом, мы показали, что любая точка M на прямой CD равноудалена от точек A и B, то есть расстояние от точки M до точки A равно расстоянию от точки M до точки B.