Question

Радиус основания конуса равен R, угол между его образующей и плоскостью основания равен α. В конус вписан шар. Найдите объем шара/

Answer 1

Задача сводится к поиску радиуса шара. Рассмотрим срез конуса, проходящий через его вершину и центр шара. Остальное - на рисунке.

Answer 2

Чтобы найти объем шара, вписанного в конус, необходимо сначала найти радиус этого шара. Обозначим радиус шара через r.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и центр вписанного шара. Это сечение будет кругом с радиусом r, так как шар описывается около этого круга.

Также в этом сечении можно выделить равнобедренный треугольник, один из углов которого равен α. Радиус R является основанием этого треугольника, а высота равна расстоянию между вершиной конуса и центром вписанного шара. Обозначим эту высоту через h.

Таким образом, мы можем выразить r через R и h, а затем использовать формулу для объема шара:

1. Используем теорему косинусов для нахождения высоты h:

cos(α) = h / R h = R * cos(α)

2. Используем свойства треугольника для нахождения радиуса r:

r^2 = (R * sin(α))^2 + h^2 r^2 = (R * sin(α))^2 + R^2 * cos^2(α) r^2 = R^2 * (sin^2(α) + cos^2(α)) r = R * sqrt(sin^2(α) + cos^2(α)) r = R * sqrt(1) r = R

3. Используем формулу для объема шара:

V = (4/3) * π * r^3 V = (4/3) * π * R^3

Таким образом, объем вписанного шара равен (4/3) * π * R^3.